КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает замену одной ренты другой. Если такая замена базируется на принципе финансовой эквивалентности, то из этого следует равенство современных стоимостей обеих рент (разумеется, при одинаковой процентной ставке, принятой для дисконтирования). Отправляясь от этого равенства, нетрудно определить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев такой замены.
Замена немедленной ренты на отсроченную.Пусть имеется немедленная рента постнумерандо с параметрами R1, n1 Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Иначе говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с параметрами R2, n2, t (t не входит в срок ренты). Пусть процентная ставка равна i.
Здесь возможны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется R2, и наоборот. Рассмотрим первую задачу при условии, что n2 = n1= n. Для этого случая справедливо следующее равенство:
A1= A2; R1an;i = R2an;ivt.
Отсюда
(5.32)
Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за время t члену заменяемой ренты.
В общем случае, когда n2n1 из равенства A1= A2 следует:
(5.33)
где t — продолжительность отсрочки.
Пример 5.12. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями R1= 2 млн. руб. и сроком восемь лет откладывается на два года без изменения срока самой ренты, процентная ставка, принятая для пролонгирования, — 20% годовых. Тогда согласно формуле (5.32):
R2 = 2 x 1,22 = 2,88 млн. руб.
Если же срок ренты увеличивается, скажем, еще на три года (n = 11), тогда при условии, что i = 20%:
= 2,55393 млн. руб.
Рассмотрим еще один вариант. Пусть член ренты остается без изменений. Однако выплата ренты откладывается на t лет. Тогда из равенства
находим
(5.34)
Пример 5.13. Рента с условиями R = 2000 тыс. руб., n = 5 лет, i = 8% откладывается на три года без изменения ее члена. Необходимо найти новый срок и сбалансировать результат. По формуле (5.34) получим:
n2 = = 6,689 года.
Примем продолжительность новой ренты (без учета отсрочки) шесть лет. Современная стоимость такой ренты равна:
A2 = Ra6;8v3 = 2000 х 4,6288 х 1,08-3 = 7339,58 тыс. руб.
Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна 7985,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уплатить в начале действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент.
Замена годовой ренты нa p-срочную.Пусть годовая немедленная рента с параметрами R1, n1 заменяется нa p-срочную с параметрами R2, n2, p. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то
(5.35)
Причем, если n2 = n1 = n, то
Отсюда
(5.36)
Пример 5.14. Пусть r1 = 2, n1= n2 = n. Если годовая рента пост-нумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неизменности срока ренты эквивалентность достигается только за счет корректировки размера выплат. При условии, что i = 20%, находим:
R2= = 1,86541.
Продолжим пример. Пусть п1 = 3, a n2= 4 года. Согласно формуле (5.35) получим
Следовательно,
Замена годовой ренты на р-срочную может быть осуществлена и при условии, что заданным является размер члена ренты. Определяется ее срок. В общем случае для этого находим:
(5.37)
Далее по формуле (4.31) определяется n.
Общий случай конверсии.Выше методы эквивалентной (безубыточной) замены рент рассматривались применительно к постоянным дискретным рентам. Однако переход от одного вида к другому возможен для любых потоков платежей. В любом случае в основу замены должно быть положено равенство соответствующих современных стоимостей потоков платежей. Ограничимся одним простым примером. Заменим, например, нерегулярный поток постоянной годовой рентой постнумерандо. Пусть поток состоит из платежей R1, выплачиваемых спустя ntлет после начала действия контракта. Параметры заменяющей ренты: R, п.Исходное равенство имеет вид:
(5.38)
Данное равенство дает возможность определитьодин из параметров ренты — R или n. Решение обратной задачи достигается только подбором величин платежей, удовлетворяющих это равенство.
Раздел3 Практические приложения количественного финансового анализа
Глава 6. СТРАХОВЫЕ АННУИТЕТЫ
Дата добавления: 2015-03-31; Просмотров: 1542; Нарушение авторских прав?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
Источник
· предыдущая страница
· в конец
Конверсия
финансовых рент
7.2
Изменение условий ренты. Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает замену одной
ренты другой. Как уже отмечалось выше, такая замена должна базироваться на принципе финансовой эквивалентности. Из этого следует равенство современных
стоимостей обеих рент. Что касается процентной ставки, то она может быть
сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока может потребовать некоторого ее увеличения. Отправляясь от указанного равенства, нетрудно
определить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько случаев
такой замены.
1)
Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная рента постнумерандо
с параметрами процентная ставка равна i. Необходимо отсрочить выплаты на t
лет. Иначе
говоря, немедленная рента заменяется на отсроченную с параметрами . Здесь возможны разные постановки задачи в зависимости оттого, что задано для новой ренты. Если задан срок, то определяется
R2,и наоборот. Рассмотрим первую задачу при условии,
что Для
этого
случая справедливо следующее равенство:
Откуда
(7.1)
· Пример 7.2
При
начислении процентов m раз в году
формула примет вид:
Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному
за время t члену заменяемой ренты.
В общем случае, когда , из равенства следует
(7.2)
где t— продолжительность отсрочки.
Определим теперь срок новой ренты при условии,
что размер члена ренты остается без изменений. Пусть
выплата ренты откладывается на t лет. Тогда из равенства
находим
(7.3)
Наиболее
общий случай изменения условий ренты является не только преобразованием немедленной ренты в отсроченную, он и изменение
срока ренты. В этом случае новый
рентный платеж вычисляется по формуле:
· Пример 7.3
2) Изменение продолжительности и срочности ренты
При замене обычной годовой ренты на новую с измененным
сроком ренты, необходимо определить размер рентного платежа при экспонировании исходного равенства:
На принципе равенства
приведенных величин основан расчет и для других видов рент.
Например. При изменении срочности ренты, получим формулу:
· Пример 7.4
3) Общий случай замены рент
В случае
замены не одного, а нескольких
параметров ренты величину рентного платежа определяют из равенства:
(7.4)
· Пример 7.5
· предыдущая страница
· к началу
Источник
Бывают ситуации, когда возникает необходимость изменить условия выплаты ренты, заменить одну ренту другой либо разовым платежом, либо, наоборот, заменить разовый платеж рентой, а также заменить несколько рент с разными параметрами одной. Во всех перечисленных выше случаях производится конверсия рент, подчиняющаяся простому правилу: современные величины старой (старых) и новой (новых) рент должны быть равны. Это следует из предположения, что конверсия рент не должна менять финансового положения сторон, т.е. должен соблюдаться принцип финансовой эквивалентности
- (принцип финансовой справедливости). Алгоритм расчета параметров новой ренты таков:
- 1. Определяется современная величина старой (старых) ренты.
- 2. В случае объединения рент эти величины складываются и дают современную величину новой ренты.
- 3. Зная современную величину новой ренты, по методу, описанному выше, рассчитываются параметры новой ренты, такие как размер отдельного платежа R, срок ренты п и процентная ставка
Рассмотрим такие виды конверсии рент, как изменение параметров ренты, замена одной ренты другой, выкуп ренты (замена ренты разовым платежом), рассрочка платежа (замена разового платежа рентой), а также консолидация (объединение) рент (замена нескольких рент с разными параметрами одной рентой).
Замена одной ренты другой
Изменение параметров ренты.
На практике довольно часто возникает необходимость в изменении параметров ренты. Например, надо изменить срок ренты или величину рентного платежа либо изменить частоту выплат (срочность ренты) и т.д.
Алгоритм расчета параметров новой ренты такой же, как приведен выше: определяется приведенная величина старой ренты, которая будет равна приведенной величине новой ренты. Далее следует задать все параметры новой ренты, кроме одного, и из уравнения эквивалентности А = А2 найти недостающий параметр новой ренты (см. параграф 2.5.3).
Если задать такие параметры новой ренты, как размер отдельного платежа R и срок ренты п, можно из уравнения эквивалентности найти процентную ставку / либо при заданном сроке ренты п и процентной ставке / определить величину рентного платежа R и т.д. Возможны и более сложные случаи, в частности, может возникнуть необходимость заменить годовую ренту /ьсрочной либо наоборот. Подобные и другие случаи рассмотрим более подробно.
Замена обычной ренты срочной.
Приведем три примера замены одной ренты другой. В качестве первого примера рассмотрим замену годовой ренты с параметрами R, п /ькратной рентой с параметрами R2, п2,р. Приравняем современные величины старой и новой рент [2]:
Из этого уравнения можно либо найти величину платежа срочной ренты R2, если заданы ее срок п2 и срочность р, либо определить срок ренты п2, если заданы величина платежа R2 и срочность ренты р.
В первом случае [2]
Если сроки обеих рент, как и процентные ставки, одинаковы и отличаются только периодичностью рентных платежей (один платеж в год для первой ренты и р платежей в год для второй ренты), то платежи таких рент связаны соотношением [2]
Во втором случае для нахождения срока ренты п2 находим сначала коэффициент приведения для /7-срочной ренты [2]
Решая это уравнение относительно пъ определим срок /7-срочной ренты [2]:
Пример 2.7. Заменить обычную (годовую) ренту с параметрами /?, = = 200, п = 5, / = 10% срочной (квартальной) рентой с параметрами R2 = 100, /’= 10%.
Найдем сначала приведенную величину годовой ренты
Далее по формуле (2.145) находим срок 4 — срочной ренты
Замена немедленной ренты отсроченной.
В качестве второго примера рассмотрим замену немедленной ренты с параметрами Rx, п отсроченной рентой с параметрами R2, п2, t. Приравняем современные величины старой и новой рент [2]:
где
Из этого уравнения можно либо найти величину платежа отсроченной ренты R2, если заданы ее срок п2 и продолжительность отсрочки Г, либо определить срок ренты пъ если заданы величина платежа R2 и продолжительность отсрочки Л
В первом случае величина платежа R2 равна [2]:
Если сроки обеих рент равны, их платежи связаны соотношением [2]
т.е. член отсроченной ренты равен наращенному за время отсрочки t члену немедленной ренты.
Во втором случае из равенства
при заданных R2 и t находим срок новой ренты (Л, и пх известны). В случае сохранения размера члена ренты (Л2 = R) он определяется соотношением [2]
Консолидация рент
При замене нескольких рент одной равенство современных величин старых и новой рент имеет вид [2]:
Это равенство позволяет найти только один параметр консолидирующей ренты (член ренты либо ее срок), при этом все остальные ее параметры должны быть заданы. В случае если неизвестен член ренты, то он для ренты постнумерандо со сроком п определяется по формуле
Если же неизвестен срок консолидирующей ренты, то сначала находим коэффициент приведения [2]
откуда уже находим срок ренты
Важным частным случаем консолидации рент является ситуация, когда член консолидирующей ренты равен сумме членов заменяемых рент. При одинаковой процентной ставке всех рент из условия финансовой эквивалентности получаем [2]:
откуда находим срок ренты
Выкуп ренты
Выкупом ренты называется замена ренты единовременным платежом. Принцип финансовой эквивалентности здесь сводится к тому, что единовременный платеж Р должен равняться современной величине выкупаемой ренты [2] А:
По этой формуле определяется величина единовременного платежа при известных параметрах выкупаемой ренты: размере отдельного платежа Л, сроке ренты п и процентной ставке /.
Пример 2.8. Заменить две ренты постнумерандо с параметрами
разовым платежом в момент времени п = 4,1 = 15%.
Вначале найдем приведенные величины обеих рент:
Теперь определим сумму приведенных величин обеих рент:
Эта сумма должна равняться единовременному платежу, дисконтированному к начальному моменту времени:
Отсюда P = A(+i)» =579,64(1 + 0,15)4 = 2762,80.
Р= 2762,80.
Рассрочка платежа
Рассрочкой платежа называется замена долга (единовременного платежа) рентой. При этом задаются все параметры ренты, кроме одного, а этот неизвестный параметр определяется из условия равенства долга современной величине вводимой ренты [2]:
Источник
Изменение хотя бы
одного условия ренты по существу
означает замену одной ренты другой.
Как уже отмечалось выше, такая замена
должна базироваться на принципе
финансовой эквивалентности. Из этого
следует равенство современных стоимостей
обеих рент. Что касается процентной
ставки, то она может быть сохранена
или изменена. Например, кредитор в обмен
на увеличение срока может потребовать
некоторого ее увеличения. Отправляясь
от указанного равенства, нетрудно
определить параметры заменяющей
ренты. Рассмотрим несколько случаев
такой замены.
Замена
немедленной ренты на отсроченную. Пусть
имеется немедленная рента постнумерандо
с параметрами R1,
n1,
процентная ставка равна i. Необходимо
отсрочить выплаты на t
лет. Иначе говоря, немедленная рента
заменяется на отсроченную с
параметрами
R2,
n2,
t
(tне
входит в срок ренты). Здесь возможны
разные постановки задачи в зависимости
от того, что задано для новой ренты. Если
задан срок, то определяется R2,
и
наоборот. Рассмотрим первую задачу
при условии, что n2
= n1
= n.
Для этого случая справедливо следующее
равенство:
R1an;I
= R2an;ivt.
Откуда
R2
= R1
(1
+ i)t. (107)
Иначе
говоря, член новой ренты равен наращенному
за время tчлену
заменяемой ренты.
В общем
случае, когда n2
≠ n1,
из равенства А1
= А2следует
(108)
где t
— продолжительность отсрочки,
ПРИМЕР
. Пусть
немедленная рента постнумерандо с
условиями R1
= 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается
на 2 года без изменения срока самой
ренты. Процентная ставка, принятая для
пролонгирования, — 20% годовых. Согласно
(107) получим
R2
= 2 ·
1,22
= 2,88 млн руб.
Таким
образом, отказ от выплаты немедленной
ренты увеличивает ежегодные выплаты
на 0,88 млн руб. Если же одновременно
со сдвигом начала выплат срок ренты
увеличивается, скажем, до 11 лет вместо
8 (n
= 11),
то по формуле (108) находим
Определим
теперь срок новой ренты при условии,
что размер члена ренты остается без
изменений. Пусть выплата ренты
откладывается на t
лет. Тогда из равенства
Ran1;I=
Ran2;ivt
находим
(109)
ПРИМЕР
. Рента
с условиями R
= 2 млн руб., n=
5 лет, i
= 8% откладывается на три года без изменения
сумм выплат. Необходимо найти новый
срок. По формуле (109) получим
Замена годовой ренты
на p-срочную.
Пусть
годовая немедленная рента с параметрами
R1,
n1
заменяется на
p-срочную
с параметрами R2,
n2,
p.
Если заданы срок заменяющей ренты, ее
периодичность и ставка, то
.
(110)
Причем, если n2
= n1
= n,
то
.
Отсюда
.
(111)
Пример . Пусть R1
= 2; n1
= n2
= n. Годовая рента постнумерандо заменяется
на квартальную (р = 4). При неизменности
срока ренты эквивалентность замены
достигается только за счет корректировки
размера выплат. При условии, что i = 20%.
Продолжим пример, пусть
теперь n1
= 3, n2
= 4 года. Согласно (110) получим:
Замена
годовой ренты на p-срочную
может быть осуществлена и при условии,
что заданным является размер члена
ренты. Определяется ее срок. В общем
случае находим
(112)
и затем по формуле
расчета срока постоянных рент постнумерандо
определяется n.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник
§6.6. изменение параметров рент
Изменение хотя бы одного условия ренты по существу означает
замену одной ренты другой. Как уже отмечалось выше, такая замена должна
базироваться на принципе финансовой эквивалентности. Из этого следует равенство
современных стоимостей обеих рент. Что касается процентной ставки, то она может
быть сохранена или изменена. Например, кредитор в обмен на увеличение срока
может потребовать некоторого ее увеличения. Отправляясь от указанного
равенства, нетрудно определить параметры заменяющей ренты. Рассмотрим несколько
случаев такой замены.
Замена немедленной ренты на отсроченную. Пусть имеется немедленная
рента постнумерандо с параметрами /?,, я,, процентная ставка равна /’.
Необходимо отсрочить выплаты на t лет. Иначе говоря, немедленная рента
заменяется на отсроченную с параметрами R2, п2, t (t не входит в срок ренты).
Здесь возможны разные постановки задачи в зависимости от того, что задано для
новой ренты. Если задан срок, то определяется R2, и наоборот. Рассмотрим первую
задачу при условии, что п2 — п{ = п. Для этого случая справедливо следующее
равенство:
Откуда
R2 = Я, (І + /)’. (6.37)
Иначе говоря, член новой ренты равен наращенному за время /
члену заменяемой ренты.
В общем случае, когда п2 * я,, из равенства Л, = А2 следует
R2 .^^(u/f, (6.38)
an2;i
где / — продолжительность отсрочки.
ПРИМЕР 6.13. Пусть немедленная рента постнумерандо с условиями
Я, = 2 млн руб. и сроком 8 лет откладывается на 2 года без изменения срока
самой ренты. Процентная ставка, принятая для пролонгирования, — 20% годовых.
Согласно (6.37) получим
R2 = 2 x 1,22 = 2,88 млн руб,
Таким образом, отказ от выплаты немедленной ренты увеличивает
ежегодные выплаты на 0,88 млн руб. Если же одновременно со сдвигом начала
выплат срок ренты увеличивается, скажем, до 11 лет вместо 8 (п = 11), то по
формуле (6.38) находим
Ry = R. ■ 8:20 х 1,22 = 2 х — х 1,22 = 2,55393 млн
руб.
2 1 а11:20 4,32706
Определим теперь срок новой ренты при условии, что размер
члена ренты остается без изменений. Пусть выплата ренты откладывается на t лет.
Тогда из равенства
находим
п2
= , ,ч . (6.39)
ПРИМЕР 6.14. Рента с условиями R = 2 млн руб., п = 5 лет, /
= 8% откладывается на три года без изменения сумм выплат. Необходимо найти
новый срок и сбалансировать результат. По формуле (6.39) получим
-1п[1 — (1 — 1,08~5)1,083]
П* = UrToi = 6’689 Г0Да-
Таким образом, отказ от немедленной выплаты ренты обойдется
в 1,7 года увеличения срока ренты. Пусть продолжительность новой ренты (без
учета отсрочки) равна 6 годам. Современная стоимость такой ренты с учетом
отсрочки равна
А2 = ffa6;8v3 = 2000 х 4,6288 х 1,08~3 = 7339,58 тыс. руб.
Однако у заменяемой ренты современная стоимость равна
7985,42 тыс. руб. Разность в сумме 645,84 тыс. руб. следует уплатить в начале
действия контракта или с соответствующим наращением в любой иной момент.
Замена годовой ренты на />-срочную. Пусть годовая
немедленная рента с параметрами /?,, пх заменяется на />срочную с параметрами
/?2, п2, р. Если заданы срок заменяющей ренты, ее периодичность и ставка, то
/?2 = /?,^4. (6.40)
м
(
«2
Причем, если п2 = я, = п, то
РЮ + І)І/р- I]
fit
р[( + іУ’р — і]
R2 = Л,— : -. (6.41)
ПРИМЕР 6.15. Пусть Я, = 2, п1 = п2 = п. Если годовая рента
постнумерандо заменяется, скажем, на квартальную, то при неизменности срока
ренты эквивалентность замены достигается только за счет корректировки размера
выплат. При условии, что і = = 20%, находим
4(1,21^4 — 1)
R2 = 2 x — = 1,86541.
Продолжим пример. Пусть теперь п1 = 3, а п2 = 4 года. Согласно
(6.40) получим
Э3;20 2,10648
R2 = 2^r = 2x^5T = 1’51791-
Замена годовой ренты на /ьсрочную может быть осуществлена и
при условии, что заданным является размер члена ренты. Определяется ее срок. В
общем случае для этого сначала находим
,(‘) __±_ Л, (6.42)
«г-1 R2 R2 «
Далее по формуле (5.31) определим п2.
Общий случай конверсии. Выше методы эквивалентной замены
рент рассматривались применительно к постоянным дискретным рентам. Однако
переход от одного вида к другому возможен для любых потоков платежей. В каждом
случае в основу замены должно быть положено равенство соответствующих современных
стоимостей потоков платежей. Ограничимся одним простым примером. Заменим,
например, нерегулярный поток денег постоянной годовой рентой постнумерандо.
Пусть поток состоит из платежей Rf, выплачиваемых спустя nt лет после начала
действия контракта. Параметры заменяющей немедленной ренты постнумерандо: R, п
. Исходное уравнение эквивалентности имеет вид
Ran, = 1 R,v-
Данное равенство дает возможность определить один из параметров
ренты: R или п. Решение обратной задачи — определение членов нерегулярного
потока платежей — достигается только подбором величин платежей, удовлетворяющих
этому равенству.
Математическое приложение к главе
1. Доказательство формулы (6.1)
Имеется ряд платежей: R, R + a, R + 2а, R + (п — )а.
Определим современную стоимость данного потока платежей.
А = Rv + (R + a)v2 + … + [/?+(«- )a]v». (1)
Умножим это равенство на (1 + /’) и вычтем из обеих частей
выражения соответствующие части равенства (1), получим
iA = R + av + av2 + … + av»‘[
-[/?+(/?- )]av» =
я-1
= /?(1 — v») + a 2v’ — rtov» +
ov». і
После чего имеем
A = R Напомним, что
+
aani — nav»
1 — v»
В итоге
a) nav»
R + — a.., —■
2. Метод Ньютона—Рафсона
С помощью этого метода последовательным приближением
определяется нелинейная функция /(х) = 0. Общий вид рекуррентного соотношения:
где Л — номер итерации, хк — значение х после к-й итерации,
f(xk) — значение производной функции f(xk).
Основная задача заключается в разработке функции f(x),
удобной для дальнейших преобразований. Применим метод для вывода формулы
(6.26).
В качестве заданной принимается величина А. Исходная функция
А — Ranb. Таким образом,
1 — е~Ьп
/(6)=/? -А = 0. (2)
Разделим это выражение на R и умножим на 6:
Л б) = 1 — — = 0. (3)
Отношение A/R определяется условиями задачи. Преобразуем
полученную функцию и найдем ее производную:
(4)
Подставим в общую запись рекуррентного соотношения (1) полученные
значения функции и ее производной. Можно написать искомую итерационную формулу
(6.26):
1 хя ^ X
1-е * О
к
+ 1 = Ьк
А_ R
Очевидно, что, чем ближе начальное значение ставки (<50)
к истинному, тем меньше потребуется итераций.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРА-М,
1997. Гл. 3.
Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.:
Дело, 1995. §5.5.
Четыркин Е.М., Васильева Н. Е. Финансово-экономические
расчеты. М.: Финансы и статистика, 1990. Гл. 4.
Cartledge P. Financial arithmetic. A
practitioners guide. Euromoney Books, 1993.
Источник