Источник
Задача 1. Вероятности выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:
а) выиграют ровно 3;
б) выиграют не более 3;
в) выиграют не менее 4.
Решение. а) Так как число облигаций, участвующих в розыгрыше, невелико, воспользуемся формулой Бернулли для решения задачи:
> restart: n:=8;m:=3;p:=0.25;
n:=8
m:=3
p:=0.25
Применим формулу Бернулли:
> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);
P(8,3,0,25):=0,2076416016
б) Искомую вероятность найдём по формуле .
Проводим вычисления.
> P(n,k<=m,p):=sum(n!/(i!*(n-i)!)*p^i*(1-p)^(n-i),i=0..3);
P(8,k≤ 3,0.25)=0.8861846924
в) Вероятность события «выиграют не менее 4» находим как вероятность противоположного события к событию «выиграют не более 3»:
>P(n,k>=m+1,p):=1 – P(n,k<=m,p);
P(8,4≤ k,0.25)=0.1138153076
Задача 2. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено:
а) ровно 4 пары;
б) не более 4 пар;
в) не менее 3 и не более 8 пар.
Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем
> restart: n:=200;m:=4;p:=0.01;
n:=200
m:=4
p:=0.01
По формуле Бернулли:
> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);
P(200,4,0.01):=0.09021970194
По формуле Пуассона:
> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);
P1(200,4,0.01):= 0.09022352212
С использованием локальной теоремы Муавра – Лапласа:
> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));
x:=1.421338109
> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));
P(200,4, 1.421338109):=0.1032514539
Делаем вывод о том, что более точный результат даёт формула Пуассона.
Замечание. При больших и при малых значениях более точный результат даёт формула Пуассона, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием этой формулы.
б) Находим искомую вероятность по формуле:
>P(n,k<=4,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=0..4));
P(200,k≤ 4,0.01):= 0.9473469824
в) Найдём вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не менее 3 и не более 8 пар. Воспользуемся вновь формулой Пуассона:
> P(n,3<=k,k<=8,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=3..8));
P(200, 3<=k,k<=8, 0,01):= 0.05241557000
Задача 3. Вероятность того, что случайный покупатель потратит в супермаркете более 500 руб., равна 0,24. Найти вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят:
а) ровно 100 чел.;
б) не более 100 чел.;
в) не менее 85 и не более 125 чел.;
Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем > restart: n:=400;m:=100;p:=0.24;
n:=400
m:=100
p:=0.24
По формуле Бернулли:
> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);
P(400,100,0.24):= 0.04128662045
По формуле Пуассона:
> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);
P1(400,100,0.24):= 0.03671549490
Локальная теорема Муавра – Лапласа:
> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));
x:=0 .4682929058
> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));
P(400,100,0 .4682929058):= 0.04185502868
Делаем вывод о том, что в данной ситуации более точный результат даёт локальная теорема Муавра – Лапласа, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа.
б) Имеем
> m1:=0;m2:=100;
m1:=0
m2:=100
> x1:=(m1-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x2:=(m2-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));
x1:= -11.23902974
x2:= 0.4682929058
> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));
P(400, 0≤k≤100, 0.24)=0 .6802124294
в) Найдём вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят не менее 85 и не более 125 чел.
> m1:=85;m2:=125;
m1:=85
m2:=125
> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));
P(400,85≤k≤125,0.24)=0 .9007501711
Контрольные вопросы
1. Какие испытания называются независимыми? Приведите при-меры независимых испытаний.
2. Что понимают под схемой Бернулли? Приведите примеры ситуаций, в которых присутствует схема Бернулли.
3. Что такое «успех» и «неудача» в схеме Бернулли? Как связаны их вероятности?
4. Запишите формулу Бернулли. Какую вероятность вычисляют по этой формуле? Приведите примеры задач, в которых используется формула Бернулли.
5. В каких случаях и какие приближённые формулы используют в схеме Бернулли ?
6. При каких условиях более точный результат даёт та или иная приближённая формула?
7. Приведите примеры задач, в которых используются формула Пуассона и локальная теорема Муавра – Лапласа.
8. Как найти вероятность того, что в п испытаниях схемы Бернулли «успех» наступит: а) не более m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) менее m раз.
9. Сформулируйте интегральную теорему Муавра – Лапласа. Приведите примеры задач, в которых используется эта теорема.
10. Каким образом нужно решать следующую задачу: найти вероятность того, что в 450 независимых испытаниях «успех» наступит не менее 10 и не более 15 раз, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,3 (если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,03).
Рекомендуемые страницы:
Источник
Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если она принимает значения 0, 1, 2, … ,…, с вероятностями, определяемыми формулой Бернулли:
, (24)
где .
Если случайная величина распределена по биномиальному закону, то она имеет математическое ожидание и дисперсию , где .
Мода случайной величины , как целое число находится из неравенств:
.
Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0, 1, 2,…, ,… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями:
, (25)
где функция Пуассона.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона
. (26)
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения 1, 2, …, ,…(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями:
, (27)
где .
Если случайная величина имеет геометрическое распределение, то ее математическое ожидание ,а дисперсия .
Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Дискретная случайная величина имеет распределение Паскаля с параметрами и , если она принимает значения с вероятностями:
. (28)
Ее числовые характеристики
, .
Геометрическое распределение является частным случаем распределения Паскаля для .
Распределение Паскаля характеризует число испытаний в схеме Бернулли до го положительного исхода.
Пример 32. Вероятность выигрыша по облигациям займа за все время их действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигрышных облигаций среди 5 приобретенных. Найти математическое ожидание, дисперсию и моду этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию доли выигрышных облигаций среди приобретенных.
Решение. Пусть число выигрышных облигаций среди 5 приобретенных. Эта дискретная случайная величина, которая имеет биномиальное распределение с параметрами 5, 0,1. Значения от 0 до 5 принимаются с вероятностями, находимыми по формуле (24):
0,59049;
0,32805;
0,0729;
0,0081;
0,00045;
0,00001.
Контроль: 0,59049+0,32805+0,0729+0,0081+0,00045+0,00001=1.
Отсюда ряд распределения имеет вид:
Определяем числовые характеристики , имеющей биномиальное распределение:
0,5; 0,45.
Доля выигрышных облигаций среди приобретенных есть , где случайная величина, распределенная по биномиальному закону.
Поэтому
0,1;
0,018.
Пример 33. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа элемента в течение времени равна 0,002. Необходимо:
1. Составить закон распределения отказавших за время элементов;
2. Найти и этой случайной величины;
3. Определить вероятность того, что за время откажет хотя бы один элемент.
Решение. 1. Имеем схему Бернулли при 0,002 и 1000. Так как мало, а — велико, и при этом
,
то можно считать, что число отказавших за время элементов имеет распределение Пуассона, которое является предельным для биномиального распределения.
Тогда закон распределения числа отказавших элементов задается формулой (25):
.
2. Числовые характеристики найдем по формулам (26)
2.
3. События «откажет хотя бы один элемент» ( ) и «отказов не будет» ( ) являются противоположными, поэтому
0,865.
Пример 34. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0,9. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса.
Требуется:
1. Составить закон распределения числа дополнительных вопросов, которые преподаватель задаст студенту.
2. Найти и этой случайной величины.
3. Найти наивероятнейшее число дополнительных вопросов.
Решение.
1. Пусть число дополнительных вопросов. Это дискретная случайная величина, которая принимает целые значения: 1, 2, 3,…, ,… . Найдем вероятности этих событий.
Событие ( ) произойдет тогда, когда студент не ответит на первый же дополнительный вопрос. Вероятность этого равна 1-0,9=0,1, т. е.
0,1.
, если студент ответит на первый вопрос (с вероятностью 0,9) и не ответит на второй (с вероятностью 0,1). Отсюда по теореме умножения вероятностей
.
, если студент ответит на два дополнительных вопроса (с вероятностью ) и не ответит на третий вопрос (с вероятностью 0,1). Тогда
.
Нетрудно по аналогии получить, что событие ( ) произойдет с вероятностью
.
Из последней формулы видно, что случайная величина имеет геометрическое распределение (27) с параметром 0,1.
Поэтому ряд распределения имеет вид:
2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей геометрическое распределение, находятся по формулам:
10; 90.
3. Наивероятнейшее число дополнительных вопросов характеризуется модой случайной величины. Из ряда распределения видно, что
1.
Пример 35. Решить пример 34 при условии, что экзаменатор задает дополнительные вопросы до неправильного ответа на два вопроса.
Решение. Обозначим через число заданных вопросов до двух неверных ответов. Тогда является дискретной случайной величиной с возможными значениями: 2, 3, 4,…, ,… . Определим вероятности этих событий.
Событие ( ) произойдет в том случае, когда студент не ответит на два дополнительных вопроса подряд. Это произойдет с вероятностью
.
Событие ( ) совершится только в двух случаях: либо студент правильно ответит на первый вопрос и не ответит на два последующих, либо он не ответит на первый вопрос, затем правильно ответит на второй вопрос и не ответит на третий вопрос. Поскольку эти случаи несовместны, то вероятность события определится
.
Случайная величина примет значение 4 в трех случаях:
— студент правильно отвечает на первые два вопроса, но не отвечает на два последующих;
— студент правильно отвечает на первый и третий вопрос, но не отвечает на второй и четвертый;
— студент не отвечает на первый вопрос, затем правильно отвечает на второй и третий вопросы, но не отвечает на четвертый вопрос.
Тогда
.
Отсюда несложно получить общую формулу для вычисления вероятности события ( ):
.
Из последней формулы видно, что случайная величина имеет распределение Паскаля (28) с параметрами 0,1 и 2.
Поэтому числовые характеристики найдутся:
20, 180.
По определению моды должны выполняться неравенства:
,
,
которые после упрощения записываются в виде
,
.
Решая последнюю систему неравенств, получаем
.
Поскольку мода – целое число, то имеем бимодальную случайную величину: 9 и 10.
При этом 0,0387.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 4343 | Нарушение авторского права страницы
studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2020 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования
(0.012 с)…
Источник
