Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто приобретя 8 облигаций, выиграет по 6 из них?
Решение.
Формула Бернулли
Вероятность того, что в серии из п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события A равна p (0р1), это событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), равна
,
где – число сочетаний из n по k (см. выше), q=1-p – вероятность противоположного события .
Имеем Р8(6)=С860,2560,752=8!2!6!0,2560,752=0,00384
Ответ: 0,00384
Батарея дала 36 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который при одном выстреле 0,1. Найти вероятность разрушения объекта, если для его разрушения требуется не менее 5 попаданий.
Решение.
По условию, р=0,1; q=0.9; n=36; k1=5; k2=36. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
P36(5,36)=Ф(х“)-Ф(х`)
X`=k1-npnpq=5-36*0.136*0.1*0.9=0,78
X“=k2-npnpq=36-36*0.136*0.1*0.9=18
Таким образом, имеем:
P36(5,36)=Ф(18)-Ф(0,78)=0,5-0,2823=0,2177
Ответ: 0,2177
Домашняя работа №9
Автоматическая мойка может принять на обслуживание одновременно 6 автомашины. В среднем машины прибывают через 2 мин, а средняя продолжительность мойки – 10 мин. В очереди могут находиться не более 6 машин. Определить вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина, и загруженность одной установки для мойки машин.
Решение.
Имеем систему массового обслуживания (СМО) с шестью каналами, с ожиданием и ограниченной очередью (6 мест).
По условию: λ=0,5 —интенсивность входящего потока, число заявок в единицу времени; (в минуту); n=6— число каналов; m=6 – число мест в очереди; – интенсивность потока обслуживания, одна заявка за 10 минут.
Вводим параметр ѱ=λnμ=0.56*.0.1 = 56 показатель загрузки на один канал. Тогда вероятность того, что на мойке нет ни одной машины:
P0=k=0nnkk!ѱk+nnn!ѱn+1(1-ѱm1-ѱ-1=60!0560+611!561+622!562+633!563+644!564+655!565+666!566+666!567(1-568)1-56-1=0.0051
Тогда вероятность того, что в системе находится хотя бы одна машина
p=1-p0=1-0.0051=0.9949
Загруженность одной установки для мойки машин найдём по формуле .
ρ=λbn=1*1026=56=0.8333<1
Следовательно, система не работает в режиме перегрузок.
2, Среднее число вызовов, поступающих на АТС на 1 минуту, равно 6. Считая поток пуассоновским, найти вероятность того, что за 2 минуты поступит: а) 2 вызова; б) менее 2-х вызовов; в) не менее 2-х вызовов.
Решение.
а) Вероятность события «за 2 минуты поступило 2 вызова» равна:
,
где
– среднее число вызовов в минуту; λ=6;
t – время, за которое может поступить 2 вызова; t=2 мин.;
k – число возможных вызовов за время t; k=2.
a=λ*t=6*2=12
p22=0.00044
б) События «поступило менее 2-х вызовов» и «поступило не менее 2-х вызовов» являются противоположными.
Поэтому найдем сначала вероятность первого события:
ptk<2=p20+p21=0.00000614+0.000074=0.00008014
в) Данное событие является противоположным к событию, описанному в пункте в) (выше), поэтому: ptk≥2=1-(p20+p21)=0,9999
Ответ : а) 0,00044; б) 0,00008014; в) 0,9999
Домашняя работа №10
Система массового обслуживания представляет собой автоматическую телефонную станцию, которая может обеспечить не более 9 переговоров одновременно. Заявка-вызовов, поступившая в момент, корда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему. В бреднем на станцию поступает 0,8 вызовов в минуту, а средняя продолжительность одних переговоров равна 1,5 минуты. Для стационарного режима функционирования системы не обходимо определить: а) вероятность состояний системы б) вероятность отказа в) абсолютную и относительную пропускне способности г) среднее число занятих каналов
Решение.
Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО с отказами:Интенсивность потока обслуживания: Интенсивность нагрузки.ρ = λ • tобс = 0.8 • 1.5 = 1.2Интенсивность нагрузки ρ=1.2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. а)Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
p0=11.200!+1.211!+1.222!+1.233!+1.244!+1.255!+1.266!+1.277!+1.288!+1.299!=0.301p0=11.200!+1.211!+1.222!+1.233!+1.244!+1.255!+1.266!+1.277!+1.288!+1.299!=0.301
Следовательно, 30.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 18.1 мин.Вероятность того, что обслуживанием:занят 1 канал:p1 = ρ1/1! p0 = 1.21/1! • 0.301 = 0.361заняты 2 канала:p2 = ρ2/2! p0 = 1.22/2! • 0.301 = 0.217заняты 3 канала:p3 = ρ3/3! p0 = 1.23/3! • 0.301 = 0.0867заняты 4 канала:p4 = ρ4/4! p0 = 1.24/4! • 0.301 = 0.026заняты 5 канала:p5 = ρ5/5! p0 = 1.25/5! • 0.301 = 0.00625заняты 6 канала:p6 = ρ6/6! p0 = 1.26/6! • 0.301 = 0.00125заняты 7 канала:p7 = ρ7/7! p0 = 1.27/7! • 0.301 = 0.000214заняты 8 канала:p8 = ρ8/8! p0 = 1.28/8! • 0.301 = 0,000032заняты 9 канала:p9 = ρ9/9! p0 = 1.29/9! • 0.301 =0,00000428б)Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).Р отк=0,00000428Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки.в) Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1Относительная пропускная способность: Q = pобс.pобс = 1 – pотк = 1 – 0,00000428=0,999Следовательно, 99,99% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).A = pобс • λ = 0,999 • 0.8 = 0.799 заявок/мин.г) Среднее число каналов, занятых обслуживанием
nз = ρ • pобс = 1.2 • 0,999 = 1.19 канала.
2. Рабочий обслуживает 6 однотипных станков. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час, а процедура наладки занимает в среднем 10 минут. В стационарном режиме функционирования системы нужно определить: а) вероятности состояний системы б) вероятность занятости рабочего в) среднее количество неисправных станков г) среднее число налаживаемых станков.
Решение.
А)В данном случае интенсивность входного потока λ=2 , интенсивность обслуживания μ=6, число каналов обслуживания m=1.
Возможны следующие состояния системы:
S0— все станки работают и рабочий свободен
S1— один станок остановился и рабочий занят
S2— два станок остановился и рабочий занят, один станок ждет обслуживания
S3— три станка остановились и рабочий занят, два станка ждут обслуживания
S4— четыре станка остановились и рабочий занят, три станка ждут обслуживания
S5—пять станов остановились и рабочий занят, четыре станка ждут обслуживания
S6— шесть станков остановились и рабочий занят, пять станов ждут обслуживания
На рис. изображен размеченный граф состояний рассматриваемой системы обслуживания — типичного представителя так называемых замкнутых систем обслуживания.
Вероятность того, что рабочий свободен
Р0=1/(1+6*1/3+6*5*1/9+6*5*4*1/27+6*5*4*3*1/81+6*5*4*3*2*1/243+6*5*4*3*2*1/279)=0,052
Вероятность того, что рабочий занят р1=1-0,052=0,948
б) Среднюю занятость рабочего р=0,948
в) среднее количество неисправных станков
ωср=6-1-0,05213≈3,125
г) среднее число налаживаемых станков
Число станков, находящихся под обслуживанием равно 1, если рабочий занят и 0, если рабочий свободен.
А=(1-р0)μ=1-0,052*6≈5,687
То есть в среднем 6 станков в час.
Домашняя работа № 8
В нефтеналивном порту 6 причалов для заправки танкеров, которые приходят в среднем через 18 часов, а время загрузки составляет в среднем двое суток. В очереди могут стоять не более 2 танкеров. Определите пропускную способность и холостой ход порта.
Решение.
Определяем тип СМО – многоканальная СМО с ограниченной очередью.
Дано: , , танкеров / час,
часа танкеров /час
Затем, пользуясь формулами для многоканальной СМО с ограниченной длиной очереди, находим основные показатели системы:
Интенсивность нагрузки.Интенсивность нагрузки ρ=3.125 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания. Время обслуживания. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Р0=0,0437
Следовательно, 4.37% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 2.6 мин.Вероятность того, что обслуживанием:занят 1 канал:p1 = ρ1/1! p0 = 3.1251/1! • 0.0437 = 0.137заняты 2 канала:p2 = ρ2/2! p0 = 3.1252/2! • 0.0437 = 0.214заняты 3 канала:p3 = ρ3/3! p0 = 3.1253/3! • 0.0437 = 0.222заняты 4 канала:p4 = ρ4/4! p0 = 3.1254/4! • 0.0437 = 0.174заняты 5 канала:p5 = ρ5/5! p0 = 3.1255/5! • 0.0437 = 0.109заняты 6 канала:p6 = ρ6/6! p0 = 3.1256/6! • 0.0437 = 0.0566 Вероятность отказа (вероятность того, что канал занят) (доля заявок, получивших отказ).Значит, 2% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: pотк + pобс = 1Относительная пропускная способность: Q = pобс.pобс = 1 – pотк = 1 – 0.0153 = 0.985Следовательно, 99% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок). Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
Поток желающих оформить вызов врача на дом – простейший. В среднем абоненты звонят каждые 10 с. Время приема вызова распределено по показательному закону со средним значением 12с. Определите наименьшее число телефо0нов в регистратуре, при котором вызов принимается не менее чем от 90% абонентов. Считается, что в случае неудачи абонент не предпринимает больше попыток дозвониться.
Решение.
Интенсивность нагрузки.Интенсивность нагрузки ρ=1.2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Время обслуживания. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).Следовательно, 34.2% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно tпр = 20.5 мин.Определим количество каналов, необходимых для обеспечения работоспособности системы с вероятностью P ≥ 0.9Для этого находим n из условия:
n=3
Источник
Источник
Дискретная случайная величина имеет биномиальный закон распределения с параметрами и , если она принимает значения 0, 1, 2, … ,…, с вероятностями, определяемыми формулой Бернулли:
, (24)
где .
Если случайная величина распределена по биномиальному закону, то она имеет математическое ожидание и дисперсию , где .
Мода случайной величины , как целое число находится из неравенств:
.
Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0, 1, 2,…, ,… (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями:
, (25)
где функция Пуассона.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру этого закона
. (26)
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром , если она принимает значения 1, 2, …, ,…(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями:
, (27)
где .
Если случайная величина имеет геометрическое распределение, то ее математическое ожидание ,а дисперсия .
Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Дискретная случайная величина имеет распределение Паскаля с параметрами и , если она принимает значения с вероятностями:
. (28)
Ее числовые характеристики
, .
Геометрическое распределение является частным случаем распределения Паскаля для .
Распределение Паскаля характеризует число испытаний в схеме Бернулли до го положительного исхода.
Пример 32. Вероятность выигрыша по облигациям займа за все время их действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигрышных облигаций среди 5 приобретенных. Найти математическое ожидание, дисперсию и моду этой случайной величины. Вычислить математическое ожидание и дисперсию доли выигрышных облигаций среди приобретенных.
Решение. Пусть число выигрышных облигаций среди 5 приобретенных. Эта дискретная случайная величина, которая имеет биномиальное распределение с параметрами 5, 0,1. Значения от 0 до 5 принимаются с вероятностями, находимыми по формуле (24):
0,59049;
0,32805;
0,0729;
0,0081;
0,00045;
0,00001.
Контроль: 0,59049+0,32805+0,0729+0,0081+0,00045+0,00001=1.
Отсюда ряд распределения имеет вид:
Определяем числовые характеристики , имеющей биномиальное распределение:
0,5; 0,45.
Доля выигрышных облигаций среди приобретенных есть , где случайная величина, распределенная по биномиальному закону.
Поэтому
0,1;
0,018.
Пример 33. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа элемента в течение времени равна 0,002. Необходимо:
1. Составить закон распределения отказавших за время элементов;
2. Найти и этой случайной величины;
3. Определить вероятность того, что за время откажет хотя бы один элемент.
Решение. 1. Имеем схему Бернулли при 0,002 и 1000. Так как мало, а — велико, и при этом
,
то можно считать, что число отказавших за время элементов имеет распределение Пуассона, которое является предельным для биномиального распределения.
Тогда закон распределения числа отказавших элементов задается формулой (25):
.
2. Числовые характеристики найдем по формулам (26)
2.
3. События «откажет хотя бы один элемент» ( ) и «отказов не будет» ( ) являются противоположными, поэтому
0,865.
Пример 34. Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна 0,9. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса.
Требуется:
1. Составить закон распределения числа дополнительных вопросов, которые преподаватель задаст студенту.
2. Найти и этой случайной величины.
3. Найти наивероятнейшее число дополнительных вопросов.
Решение.
1. Пусть число дополнительных вопросов. Это дискретная случайная величина, которая принимает целые значения: 1, 2, 3,…, ,… . Найдем вероятности этих событий.
Событие ( ) произойдет тогда, когда студент не ответит на первый же дополнительный вопрос. Вероятность этого равна 1-0,9=0,1, т. е.
0,1.
, если студент ответит на первый вопрос (с вероятностью 0,9) и не ответит на второй (с вероятностью 0,1). Отсюда по теореме умножения вероятностей
.
, если студент ответит на два дополнительных вопроса (с вероятностью ) и не ответит на третий вопрос (с вероятностью 0,1). Тогда
.
Нетрудно по аналогии получить, что событие ( ) произойдет с вероятностью
.
Из последней формулы видно, что случайная величина имеет геометрическое распределение (27) с параметром 0,1.
Поэтому ряд распределения имеет вид:
2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей геометрическое распределение, находятся по формулам:
10; 90.
3. Наивероятнейшее число дополнительных вопросов характеризуется модой случайной величины. Из ряда распределения видно, что
1.
Пример 35. Решить пример 34 при условии, что экзаменатор задает дополнительные вопросы до неправильного ответа на два вопроса.
Решение. Обозначим через число заданных вопросов до двух неверных ответов. Тогда является дискретной случайной величиной с возможными значениями: 2, 3, 4,…, ,… . Определим вероятности этих событий.
Событие ( ) произойдет в том случае, когда студент не ответит на два дополнительных вопроса подряд. Это произойдет с вероятностью
.
Событие ( ) совершится только в двух случаях: либо студент правильно ответит на первый вопрос и не ответит на два последующих, либо он не ответит на первый вопрос, затем правильно ответит на второй вопрос и не ответит на третий вопрос. Поскольку эти случаи несовместны, то вероятность события определится
.
Случайная величина примет значение 4 в трех случаях:
— студент правильно отвечает на первые два вопроса, но не отвечает на два последующих;
— студент правильно отвечает на первый и третий вопрос, но не отвечает на второй и четвертый;
— студент не отвечает на первый вопрос, затем правильно отвечает на второй и третий вопросы, но не отвечает на четвертый вопрос.
Тогда
.
Отсюда несложно получить общую формулу для вычисления вероятности события ( ):
.
Из последней формулы видно, что случайная величина имеет распределение Паскаля (28) с параметрами 0,1 и 2.
Поэтому числовые характеристики найдутся:
20, 180.
По определению моды должны выполняться неравенства:
,
,
которые после упрощения записываются в виде
,
.
Решая последнюю систему неравенств, получаем
.
Поскольку мода – целое число, то имеем бимодальную случайную величину: 9 и 10.
При этом 0,0387.
Дата публикования: 2015-11-01; Прочитано: 4394 | Нарушение авторского права страницы
studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2020 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования
(0.011 с)…
Источник
