ТОП 10:
Условиями кредитного контракта может предусматриваться погашение долга равными срочными уплатами в конце каждого расчетного периода.
Каждая срочная уплата(A) будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга (R) и процентного платежа по займу (I), т.е.:
A = R + I
В этом случае остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные уплаты будут являться аннуитетом ренты постнумерандо.
Следовательно, величина кредита PV, будет равняться сумме всех дисконтированных аннуитетов, т.е. является современной величиной всех срочных уплат:
(1)
где — срочные уплаты;
r — ставка процентов по займу.
Умножив выражение (1) на величину (1 + r), получим:
(2)
Если вычесть из выражения (2) выражение (1), и проделать необходимые преобразования, то получим:
(3)
Из выражения (3) можно получить величину срочной уплаты: или (4)
Величина называется коэффициентом погашения задолженности.
Пример. Банк выдал кредит в сумме 40 тыс. грн. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Начисление процентов производится раз в году. Необходимо составить план погашения долга.
Ежегодная выплата будет составлять:
тыс. грн.
За первый год величина процентного платежа составит:
Так как А = R + I, то выплата основного долга определится величиной:
тыс. грн.
Остаток основного долга после первого года составит:
тыс. грн.
Процентный платеж во втором году будет равняться:
Величина выплаты основного долга во втором году составит:
Изложенная процедура повторяется до конца срока погашения долга.
Итоговая расчетная таблица погашения долга представлена ниже.
Рассмотренная методика составления плана погашения займа равными платежами не является единственной. Рассмотрим некоторые другие.
При погашении займа равными платежами остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты. В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих на погашение основного долга (см. табл.). Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Для ее определения возьмем два последовательных расчетных периода – k и (k +1) –й.
В k-м расчетном периоде годовая срочная уплата составит:
а остаток невыплаченного долга соответственно определяется как
Однако для определения необходимо предварительно определить . В периоде (k + 1) остаток основного долга составит:
,
следовательно, срочная уплата в этом периоде может быть записана в виде следующего выражения:
.
По условию , значит . Решив это уравнение относительно , получим:
. (5)
То есть каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга, отличается от предыдущей на величину . Зная эту зависимость можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде.
Зная эту зависимость, можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде. Так ; , и т.д. .
Зная размер кредита , процентную ставку и срок погашения кредита , рассчитаем величину первой выплаты погашения основного долга .
Величина займа равна сумме выплат , т.е.:
.
После некоторых преобразований данного выражения величину можно определить по следующей формуле:
.
В этой формуле величина называется ставкой погашения.
Пример.Для условий ранее рассмотренного примера рассчитать величину первого и четвертого платежа для погашения основного долга.
тыс.грн.
тыс. грн.
Размер платежа основного долга в любом периоде можно определить не только по формуле (5), но и другим способом.
Известно, что первая выплата определяется выражением: ,
а величина кредита равняется:
.
Подставив значение PV в формулу расчета величины первого платежа, получим:
.
Так как , то, подставляя в это выражение значение , получим:
или (6)
Используя выражение (6), можно рассчитать для любого периода величину процентного платежа .
Так как, то .
Подставим в это выражение значение , и получим:
Пример.Для условий ранее рассмотренного примера рассчитать величину первого платежа и величину процентного платежа на конец последнего года погашения займа.
тыс. грн.
тыс. грн.
Для расчета остатка невыплаченного основного долга на любой момент времени воспользуемся выражением:
Подставив в это выражение значения и , получим:
Пример.По данным ранее рассмотренного примера рассчитать остаток основного невыплаченного долга на начало 3-го года погашения.
тыс. грн.
Для определения размера годовой срочной уплаты можно воспользоваться также методом депозитной книжки.
Суть метода депозитной книжки заключается в следующем. Рассуждая с позиции кредитора, для банка рассматриваемый контракт будет представлять инвестицию в размере 40 тыс. грн., т.е. отток денежных средств. В дальнейшем в течение 5 лет банк будет ежегодно в конце года получать сумму А, которая будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга. Таким образом, мы имеем дело с аннуитетом постнумерандо, о котором известны его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годового платежа воспользуемся финансовыми таблицами и формулой:
.
Для и лет значение FM4 будет равняться 4,2124. Значит искомая величина аннуитета составит 40 : 4,2124 = 9,4958 тыс. грн.
План погашения долга при изменяющейся процентной ставке.Финансовыми контрактами часто предусматриваются условия, когда на протяжении финансовой сделки процентная ствка не является постоянной, а изменяется от периода к периоду.
Вышерассмотренная методика может быть использована и для решения таких финансовых задач.
Пример.Предприятием получен кредит в сумме 100 млн. грн. Сроком на 7 лет. Процентная ставка по годам изменяется следующим образом.
План погашения долга приведен в таблице.
Источник
Расходы должника при расчете по этому методу постоянны на протяжении всего срока погашения долга. Обозначим через A— сумму долга, Y— срочная уплата, Ik — проценты по займу, Rk— расходы по погашению основного долга (k — номер периода погашения). Тогда очевидно, что
Y = Ik + Rk
При этом остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, Rk— увеличиваются. Срочные уплаты являются обычными рентами. Если задан срок погашения n, то легко находим величину срочной уплаты Y. Для этого приравняем сумму долга A к современной величине ренты (см. формулу (17)).
Y = A / a(n;i), (22)
где a(n;i) —коэффициент приведения годовой ренты со ставкой процентаi и сроком n.
Пример.Банк выдал долгосрочный кредит в сумме 4 млн. руб. на 5 лет под 6% годовых. Погашение кредита должно производиться равными ежегодными выплатами в конце каждого года, включающими погашение основного долга и процентные платежи. Проценты начисляются раз в год. Определите величину ежегодной выплаты.
Решение. Здесь A = 4 млн. руб., n = 5 лет, i = 0,06. По формуле (22) находим величину ежегодной выплаты:
Y = 4 = 949 600 руб.
Планирование страхового (погасительного) фонда
В финансовой практике встречаются ситуации, когда кредитный контракт предусматривает выплату займа разовым платежом. В этом случае, особенно при значительных размерах кредита, заемщик для своевременного погашения долга создает страховой фонд.
Рассмотрим планирование фонда с постоянными срочными взносами. Пусть создание страхового фонда производится путем внесения в банк ежегодных взносов R, на которые начисляются сложные проценты по ставке i. Одновременно происходит начисление процентов на величину долга по простой ставке g. В этом случае срочная уплата составит:
Y = Ag + R, (23)
где A — величина долга. Найдем величину R. Поскольку фонд должен быть накоплен за n лет, то взносы образуют обычную ренту с параметрами R, n, i (см. п. 5 ). Так как накопленная сумма (наращенная сумма ренты) должна быть равна величине основного долга A, то A= R×s(n;i). Тогда величина ежегодного взноса равна:
R = A / s(n;i).
Подставляя это значение в (23), получим:
Y = A g + A / s(n;i), (24)
т.е. в фонд систематически вносится сумма, равная R = A / s(n;i). Если условия контракта предусматривают присоединение процентов к сумме основного долга, то срочная уплата определяется следующим образом:
Y = A (1 + g) n / s(n;i).
Накопленные за k лет средства фонда определяются по формулам наращенных сумм обычных рент или рекуррентно:
Sk+1 = Sk (1 + i) + R. (25)
Пример. Фирма получила кредит 50 млн. руб. на 4 года под 8% годовых в банке А. Погашение долга производится разовым платежом. Одновременно с получением кредита фирма начала создавать страховой фонд, открыв счет в банке Б, где на взносы начисляются 10% годовых. Определите ежегодные расходы фирмы по амортизации долга при условии, что в погасительный фонд вносятся ежегодно равные суммы.
Решение. Параметры финансовой операции:
A = 50,0; g = 8 %; i = 10 %; n = 4, s(4;0,1) = 4,6410;
Находим величину ежегодных взносов в страховой фонд:
R = 50/ 4,6410 = 10,7735 млн. руб.
Процентные платежи по долгу I = A × g = 50 × 0,08 = 4 млн руб. Накопления на конец года в фонде (для банка Б) рассчитаем по формуле (25):
S1 = R = 10,7735 млн. руб. (S 0 = 0),
S2 = 10,7735 × 1,1 + 10,7735 = 22,6244 млн руб.
S3 = 22,6244 × 1,1 + 10,7735 = 35,6603 млн руб.
S4 = 35,6603 × 1,1 + 10,7735 = 49,9998 » 50,0 млн руб.
План погашения представим в виде таблицы:
В данной ситуации фирма-заемщик сумела с выгодой для себя реализовать кредитную операцию, т.к. i>g. В результате общая сумма расходов по погашению долга составила 59,0940 млн руб., что значительно меньше, чем, если бы фирма погасила долг разовым платежом. Экономия составила:
DD = 50 ( 1 + 0,08 × 4 ) — 59,0940 = 6,9060 млн. руб.
Замечание: более сложные схемы погашения долга см. в [1], [3].
Погашение ипотечной ссуды
Ипотечную ссуду выдают под залог имущества (земли, дома и т.п.) на длительный срок. В случае невозврата ссуды в установленный срок заложенное имущество становится собственностью кредитора. Здесь мы рассмотрим традиционную ипотечную ссуду, которая погашается равными ежемесячными выплатами и на которые также ежемесячно начисляются проценты.
Пусть размер ссуды D, выдана она на срок n лет под годовую ставку сложных процентов i. Равные ежемесячные выплаты размером R образуют ренту с частотой платежей и начислением процентов 12 раз в году. Ее наращенная сумма к концу k-го года составит R×s(12k, i/12) и для определения R имеем уравнение
R s(12n, i/12) = D(1+i/12)12n,
где n — срок ипотечной ссуды. Легко определить на конец любого года остаток, который еще предстоит выплатить. Определим остаток Rk на конец k-го года. К концу k-го года наращенная величина ссуды есть D(1+i/12)12k, а наращенная величина выплат ренты равна R×s(12k,i/12). Значит остаток Rk = =D(1+i/12)12k— R× s(12k, i/12).
Пример.Пусть ссуда в $100 000 выдана на 10 лет под 3 % годовых. Определим ежемесячную выплату и остаток к концу 5-го года.
Решение. Определяем величину коэффициента s(120, 3/12), (например, с помощью компьютерной программы Mathcad):
s(120, 3/12) = [(1+ 0,0025)120 — 1]/0,0025 = 139,74.
Ежемесячную выплату вычислим по формуле (26):
R = 100000 ×1,162/139,74 = 831,544.
Определим теперь остаток к концу 5 — го года. Наращенная величина ссуды к этому моменту равна 100000× (1+ 0,0025)60 = 116 200. Наращенная величина произведенных выплат есть
715,61×S(60; 0,25) = 864,647,
следовательно, остаток к концу 5- го года равен
R5 = 864,647 — 831,544 = 33,103.
Задачи
6.1Долг в сумме 1000 тыс. руб. необходимо погасить равными срочными уплатами в течение 5 лет. За заем выплачиваются проценты по ставке 10 % годовых. Определите величину ежегодной выплаты.
6.2Долг в размере 100 тыс. руб. получен под 8 % годовых на 4 года. Одновременно с получением ссуды для ее погашения создан страховой фонд, в который делаются равные ежегодные взносы, На деньги, внесенные в фонд, выплачиваются 5 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.Ответ:31201,18 руб.
6.3 Фермер взял в банке 500 тыс. руб. под 10 % годовых на 5 лет. Для погашения долга он образовал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги 10 % годовых. Найдите ежегодную срочную уплату по долгу.
6.4 Решите предыдущую задачу при условии, что на деньги, вкладываемые в страховой фонд, начисляются 8 % годовых.
6.5 Владелец магазина получил в банке ссуду $20 000 сроком на 4 года. Банковская процентная ставка 10 % годовых. Для погашения ссуды владелец магазина создал страховой фонд, внося в него равные ежегодные взносы и получая на эти деньги проценты по ставке j4=5 %. Какова ежегодная срочная уплата по долгу?
Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 4143 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org — Контакты — Последнее добавление
Источник
Количественный анализ долгосрочной задолженности (займа) применяется для достижения сбалансированности, т.е. адекватности его параметров принятым условиям финансового соглашения, путем планирования погашения долга.
Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов, связанных с займом, – такие расходы называются обслуживанием долга. Разовая сумма обслуживания долга – срочная уплата, в которую входят:
· текущие процентные платежи;
· средства, для погашения (амортизации) основной суммы долга.
Размеры срочных уплат зависят от условий займа:
· срока;
· наличия и продолжительности льготного периода;
· уровня процентной ставки;
· способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов.
Для кредитной схемы в качестве исходных параметров выступают величина займа (D), срок его погашения (n), процент по кредиту (i), под который выдаются деньги, и поток платежей по выплате долга (Yt).
Рассмотрим различные способы погашения задолженности, поскольку от выбора способа погашения стоимость кредита (сумма выплачиваемых процентов) будет различной. Здесь возможны два варианта:
а) погашение единовременным платежом, т.е. возврат всей суммы в оговоренный срок;
б) погашение долга в рассрочку, т.е. частями.
Погашение основной суммы долга единовременным платежом в конце срока с постоянной выплатой процентов
Рассмотрим погашение единовременным платежом. В простейшем случае кредит погашается единым платежом в конце срока:
Y = D • (1 + i)n,
где Y – срочная уплата;
D – сумма долга.
Этот платеж, как наращенная сумма долга, состоит из двух частей:
· возврат основной суммы долга (D);
· выплата процентов по долгу (I), где I = D • (1 + i )n — D.
В финансовой практике встречаются случаи, когда у кредитора возникает необходимость вернуть часть денег досрочно. В таких случаях возникает риск невозврата, поскольку требуемой суммы на такой момент времени может и не быть.
При значительной сумме долга разовый платеж требует создания так называемого фонда погашения, путем периодических взносов. Фонд погашения аккумулирует денежные средства, направленные на погашение задолженности. Наиболее эффективно размещение фонда погашения с начислением на взносы процентов, например, на специальном счете в банке. Не трудно заметить, что такие платежи по своей сути являются финансовой рентой (аннуитетом), поэтому задача сводится к определению одного из параметров финансовой ренты – члена ренты.
Здесь возможно два варианта.
Первый – выплата процентов по мере их начисления, а основная сумма денег возвращается в конце срока займа.
Рис. 1.7. Единовременное погашение долга с выплатой
процентов по мере их начисления
Если проценты выплачиваются ежегодно, тогда величина срочной уплаты (расходов должника по погашению долга) равна:
где D – первоначальная сумма долга;
q – ставка процентов по условиям займа;
sn; i – коэффициент наращения финансовой ренты;
n – срок долга в годах;
i – ставка процентов при создании фонда погашения.
Здесь фигурируют две ставки процентов: i – определяет скорость роста суммы фонда погашения; q – сумму выплачиваемых за заем процентов.
Пример 1.Долг 100 тыс. долларов выдан под 10% годовых на 3 года, с ежегодной выплатой процентов по долгу. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты по ставке 11%. Найти ежегодные расходы должника.
Решение:
Ежегодные расходы должника составляют величину срочной уплаты:
Y = I + R,
I = D • q = 100’000 • 0,1 = 10’000 долларов,
долларов
Отсюда
Y = 10’000 + 29’921,31 = 39’921,31 долларов.
Таким образом, ежегодные расходы должника по обслуживанию долга составят 39’921,31 долларов.
Однако, более наглядным и эффективным способом планирования долга является составление таблиц, в которых отражают все основные характеристики обслуживания долга:
План погашения долга единовременным платежом с ежегодной выплатой процентов и созданием погасительного фонда:
Таким образом, из приведенной таблицы видно, что ежегодные расходы по обслуживанию долга составят 39’921,31 долларов, что в целом за три года составит сумму 119’763,93 долларов, причем выплата процентов за три года 30’000 долларов, а на погашение основного долга в размере 100’000 долларов приходится всего лишь 89’763,93 долларов, т.е. 10’236,07 долларов является набежавшими процентами на размещенные средства в фонде погашения.
Таким образом, создание фонда погашения является необходимым элементом составления плана погашения долга, т.к. позволяет не только снизить риск не возврата денежных средств, но и сократить расходы по обслуживанию суммы долга.
Погашение основной суммы долга и процентов по нему единовременным платежом в конце срока ссуды
Второй вариант погашения долга единовременным платежом состоит в выплате процентов одновременно с погашением долга.
Рис. 1.8. Единовременное погашение долга одновременно с выплатой процентов по нему
В этом случае взносы в фонд погашения являются одновременно и величиной срочной уплаты (членом финансовой ренты):
где D – первоначальная сумма долга;
q – ставка процентов по условиям займа;
sn; i – коэффициент наращения финансовой ренты;
n – срок долга в годах;
i – ставка процентов при создании погасительного фонда.
Пример 2. Рассмотрим предыдущий пример, изменив условия: погашение единовременным платежом, как суммы основного долга, так и выплаты процентов.
Решение:
Величина срочной уплаты равна:
Y = [D • (1 + q)n] : Sn; i = 100’000 • (1 + 0,11) • 3 : 3,3421000 = 39’825,26 долларов
Таким образом, величина ежегодных расходов по обслуживанию долга составит 39’825,26 долларов, что несколько меньше аналогичного показателя в предыдущем примере, следовательно, меньше и общая сумма расходов по обслуживанию долга, составляющая величину 119’475,78 долларов.
Для более наглядного представления плана погашения долга здесь также необходимо составление таблицы.
План погашения долга единовременным платежом:
Как видно из таблицы, происходит ежегодное увеличение суммы долга за счет присоединения к нему процентов, поэтому к концу срока долг возрастет до 133’100 долларов, из которых выплата процентов составит 33’100 долларов. Однако за счет увеличения размера взносов в погасительный фонд общая величина обслуживания долга уменьшается.
Источник