§ 7. Применение комбинаторики к подсчету вероятности
Если из совокупности объема n производится выборка k элементов с возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной .
Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна .
Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае выборки с возвращением имеем:
,
в случае выборки без возвращения:
.
Пример 1. Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые цифры?
Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 93 = 729. Количество благоприятных случаев для интересующего нас события А подсчитываем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать способами; если х и у выбраны, то из них можно составить , т. е. 3 трехзначных числа, в которых х встречается два раза, а у –один раз; столько же будет чисел, в которых у встречается дважды; х – один раз. Таким образом, число благоприятных случаев равно 36 × (3 + 3) = 216. Искомая вероятность равна:
.
Пример 2. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?
Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р1, р2, о1, о2. Тогда общее число элементарных исходов равно: . Слово «тор» получится в 1 × 2 ×2 = 4 случаях (то1р1, то1р2, то2р1, то2р2). Искомая вероятность равна: .
При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь воспользовались правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» – двумя и букву «р» – двумя способами.
Статистический выбор. Пусть в урне находятся n предметов. Испытание состоит в том, что из урны извлекается группа из m предметов (без возвращения, без учета порядка предметов внутри группы). Количество таких выборок равно и мы предполагаем, что все они имеют равные вероятности .
Пример 3. В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?
Решение. Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N — n небракованных можно выбрать k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно × . Искомая вероятность равна:
.
Пример 4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7 членов бригады 4 человека можно выбрать = 35 способами, следовательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщины = 6 способами, а из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин = 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 × 3 = 18. Таким образом, .
Задачи
134. Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность того, что при этом все выпавшие грани различны?
135. На 6 одинаковых карточках написаны буквы «а», «в», «к», «М», «о», «с». Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «Москва»?
136. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?
137. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
138. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны наудачу извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары одного цвета?
139. Какова вероятность того, что в написанном наудачу трехзначном числе 2 цифры одинаковы, а третья отличается от них?
140. В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6 уроков. В этот день случайным образом ставятся в расписание 3 урока одного учителя и 2 урока другого. Какова вероятность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?
1человек случайным образом рассаживаются на десятиместную скамейку. Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом?
142. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?
143. В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?
144. На 10 карточках написаны буквы «а», «а», «а», «м», «м», «т», «т», «е», «и», «к». После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «математика»?
145. Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на всех костях выпадает четное число?
146. Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на карточках и тщательно перемешены. Случайным образом эти карточки разложены в ряд. Какова вероятность того, что получим четное число?
147. В урне 5 белых и 5 черных шаров. Из этой урны последовательно извлечены все шары по одному и разложены в ряд. Какова вероятность того, что цвета шаров чередуются?
148. На пятиместную скамейку случайным образом садится 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?
149. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна . Сколько в урне белых шаров?
150. В урне n белых и m черных шаров. Наудачу извлечены k шаров (k>m). Какова вероятность того, что в урне остались одни белые шары?
151. Из урны, содержащей N шаров, N раз извлекают по одному шару, каждый раз возвращая извлеченный шар. Какова вероятность того, что все шары извлекались по одному разу?
152. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные части (по 26 карт). Найдите вероятности следующих событий:
А – в каждой части окажется по 2 туза;
В – в одной из частей не будет ни одного туза;
С – в одной из частей будет ровно один туз.
153. В урне a белых, b черных и с красных шаров. Из этой урны один за другим вынимают без возвращения все шары и записывают их цвета. Найдите вероятность того, что в этом списке белый цвет встретится раньше черного.
154. Имеется 2 урны: в первой a белых и b черных шаров; второй с белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми (событие А) и вероятность того, что шары будут разного цвета (событие В).
155. 2n команд разбиты на 2 подгруппы по n команд. Найдите вероятность того, что 2 наиболее сильные команды попадут: а) в разные подгруппы (событие А); б) в одну подгруппу (событие В).
156. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Определите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет составляет 2 очка, дама – 3, король – 4, туз – 11, а остальные карты – соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.
157. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано:
а) все 6 номеров в очередном тираже;
б) 5 или 6 номеров;
в) по крайней мере 3 номера?
158. Автобусу, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что всевозможные способы распределения пассажиров по остановкам равновозможны, найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.
159. Из чисел 1, 2, …, N выбирают наудачу r различных чисел ( r £ N). Найдите вероятность того, что будут выбраны r последовательных чисел.
160. Из полной колоды карт (52 листа) извлекают сразу несколько карт. Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?
161. Имеется n шариков, которые случайным образом разбрасываются по m лункам. Найдите вероятность того, что в первую лунку упадет ровно k1 шариков, во вторую – k2 шариков и т. д., в m-ю – km шариков, если k1+k2+…+km=n.
162. В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что в одной из лунок (безразлично в какой) будет k1 шариков, а в другой – k2 шариков и т. д., в m-й – km шариков ( числа k1,k2,…,km предполагаются различными).
163. Из множества {1, 2,…, N} последовательно без возвращения выбираются числа х1 и х2. Найдите р(x2 > x1).
1рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3 папки). Найдите вероятность того, что в случайно выброшенных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.
165. Какова вероятность того, что в компании из r человек хотя бы у двоих совпадут дни рождения? (Для простоты предполагается, что 29 февраля не является днем рождения).
166. Используя таблицу значений lg n! и условие предыдущей задачи, вычислите вероятности при r = 22, 23, 60.
167.Вы задались целью найти человека, день рождение которого совпадает с Вашим. Сколько незнакомцев Вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше чем 0,5?
168. По Государственному займу ежегодно разыгрывается 6 основных тиражей и один дополнительный, происходящий после основного пятого. Из 100000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном – 230 серий. Найдите вероятность выигрыша одной облигации за первые 10 лет: а) в основном тираже; б) в дополнительном тираже; в) в каком-либо тираже.
Источник
ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПОСТАНОВЛЕНИЕ
от 5 августа 1992 г. N 549
ВОПРОСЫ ВЫПУСКА РОССИЙСКОГО ВНУТРЕННЕГО
ВЫИГРЫШНОГО ЗАЙМА 1992 ГОДА
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 03.07.1997 «N 811,»
от 30.06.1998 «N 676,» от 16.10.1999 «N 1169,» от 20.11.2001 «N 803)»
В соответствии с Постановлением Правительства Российской Федерации от 19 февраля 1992 г. N 97 «О Государственном внутреннем выигрышном займе 1982 года и выпуске Российского выигрышного займа 1992 года» в целях выполнения обязательств перед населением и нормализации денежного обращения Правительство Российской Федерации постановляет:
1. Установить, что Российской внутренний выигрышный заем 1992 года выпускается на срок с 1 октября 1992 г. по 1 октября 2002 г.
Консультант Плюс: примечание.
По вопросу, касающемуся изменения в порядке работы с облигациями Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года, см. «письмо» Минфина РФ от 15.11.1997 N 5-403.
Заем осуществляется отдельными разрядами. Общий объем выпусков облигаций отдельных разрядов не должен превышать предельного объема займа, установленного Правительством Российской Федерации на соответствующий год. Облигации указанного займа выпускаются Министерством финансов Российской Федерации по мере их продажи населению. Средства, поступающие от продажи облигаций, зачисляются в федеральный бюджет.
(в ред. «Постановления» Правительства РФ от 30.06.1998 N 676)
(см. текст в предыдущей «редакции)»
Финансирование затрат, связанных с выпуском, обращением и погашением облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года, осуществляется за счет средств федерального бюджета, предусмотренных на погашение и обслуживание государственного внутреннего долга.
(абзац введен «Постановлением» Правительства РФ от 03.07.1997 N 811)
Расходы, связанные с проверкой и уничтожением выигравших и не выигравших погашенных облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года в расчете на одну облигацию, возмещаются Сберегательному банку Российской Федерации из расчета соответственно 72 копейки и 43 копейки.
(абзац введен «Постановлением» Правительства РФ от 20.11.2001 N 803)
2. Министерству финансов Российской Федерации утвердить условия Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года, выпускаемого для размещения среди населения, образцы облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года и обеспечить изготовление облигаций займа на предприятиях Государственного производственного объединения «Гознак» при Министерстве финансов Российской Федерации.
3. Облигации Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года свободно продаются и покупаются на территории Российской Федерации учреждениями Сберегательного банка Российской Федерации и другими банками, имеющими лицензии на право совершения этих операций.
Разрешить Министерству финансов Российской Федерации устанавливать в зависимости от конъюнктуры рынка ценных бумаг продажную цену облигаций Российского внутреннего выигрышного займа, отличную от номинала.
За выполняемую работу по размещению и обслуживанию облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года Сберегательному банку Российской Федерации выплачивается комиссионное вознаграждение в размере 5 процентов стоимости реализованных облигаций, если она превышает стоимость купленных облигаций, либо в размере 5 процентов стоимости купленных облигаций, если она превышает стоимость реализованных облигаций.
(в ред. «Постановления» Правительства РФ от 20.11.2001 N 803)
(см. текст в предыдущей «редакции)»
4. Утратил силу. — «Постановление» Правительства РФ от 16.10.1999 N 1169.
(см. текст в предыдущей «редакции)»
Е. ГАЙДАР
МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УСЛОВИЯ
РОССИЙСКОГО ВНУТРЕННЕГО ВЫИГРЫШНОГО ЗАЙМА 1992 ГОДА
(с изменениями, внесенными с 4 тиража выигрышей
Российского внутреннего выигрышного займа 1993 года,
проводимого 15 апреля в г. Нижнем Новгороде)
1. Российский внутренний выигрышный заем 1992 года выпускается на срок с 1 октября 1992 года по 1 октября 2002 года.
2. Облигации займа свободно продаются и покупаются учреждениями Сберегательного банка Российской Федерации и другими коммерческими банками, получившими лицензии на право совершения операций.
3. Заем выпускается отдельными разрядами на сумму пять миллиардов рублей каждый.
Каждый разряд займа состоит из 50.000 серий с номера 00.001 по 50.000. Облигации в каждой серии имеют номера с 001 по 100.
4. Облигации займа выпускаются номинальной стоимостью в 1.000 и 500 рублей. Облигация номинальной стоимостью 500 рублей является половиной тысячерублевой облигации.
5. По облигациям займа весь доход выплачивается в форме денежных выигрышей.
Общая сумма выигрышей установлена в среднем за десятилетний срок займа из расчета 30 процентов в год.
В течение десятилетнего срока займа выигрывает 32 процента всех облигаций, а остальные 68 процентов облигаций по истечении срока займа выкупаются по их номинальной стоимости.
Выигравшие облигации погашаются и исключаются из дальнейших тиражей выигрышей.
Выигрыши по займу устанавливаются в размере 5.000.000, 1.000.000, 500.000, 250.000, 100.000, 50.000, 25.000, 10.000, 5.000 рублей на тысячерублевую облигацию, включая номинальную стоимость облигации (по облигации в 500 рублей выплачивается половина выигрыша).
6. В течение десятилетнего срока займа проводится восемьдесят тиражей выигрышей — восемь тиражей ежегодно.
Тиражи проводятся начиная с 1992 года в сроки, устанавливаемые Министерством финансов Российской Федерации.
7. В тиражах выигрышей на каждый разряд займа разыгрывается следующее количество выигрышей:
?
Размер выигрыша на? Количество? Сумма выигрышей
тысячерублевую облигацию? Выигрышей? (в рублях)
(включая номинальную? ?
стоимость) ? ?
?
5 000 000 1 5 000 000
1 000 000 5 5 000 000
500 000 10 5 000 000
250 000 20 5 000 000
100 000 50 5 000 000
50 000 300 15 000 000
25 000 800 20 000 000
10 000 7 200 72 000 000
5 000 11 614 58 070 000
?
ВСЕГО: 20 000 190 070 000
8. Облигации, на которые выпали выигрыши, а также невыигравшие облигации, подлежащие выкупу по их номинальной стоимости, могут быть предъявлены к оплате до 1 октября 2004 года. По истечении этого срока облигации, не предъявленные к оплате, утрачивают силу и оплате не подлежат.
9. Продажа и покупка облигаций производится уполномоченными банками по рыночным ценам, порядок установления которых согласовывается с Министерством финансов Российской Федерации.
Источник
ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПОСТАНОВЛЕНИЕ
от 5 августа 1992 г. N 549
ВОПРОСЫ ВЫПУСКА РОССИЙСКОГО ВНУТРЕННЕГО
ВЫИГРЫШНОГО ЗАЙМА 1992 ГОДА
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 03.07.1997 «N 811,»
от 30.06.1998 «N 676,» от 16.10.1999 «N 1169,» от 20.11.2001 «N 803)»
В соответствии с Постановлением Правительства Российской Федерации от 19 февраля 1992 г. N 97 «О Государственном внутреннем выигрышном займе 1982 года и выпуске Российского выигрышного займа 1992 года» в целях выполнения обязательств перед населением и нормализации денежного обращения Правительство Российской Федерации постановляет:
1. Установить, что Российской внутренний выигрышный заем 1992 года выпускается на срок с 1 октября 1992 г. по 1 октября 2002 г.
Консультант Плюс: примечание.
По вопросу, касающемуся изменения в порядке работы с облигациями Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года, см. «письмо» Минфина РФ от 15.11.1997 N 5-403.
Заем осуществляется отдельными разрядами. Общий объем выпусков облигаций отдельных разрядов не должен превышать предельного объема займа, установленного Правительством Российской Федерации на соответствующий год. Облигации указанного займа выпускаются Министерством финансов Российской Федерации по мере их продажи населению. Средства, поступающие от продажи облигаций, зачисляются в федеральный бюджет.
(в ред. «Постановления» Правительства РФ от 30.06.1998 N 676)
(см. текст в предыдущей «редакции)»
Финансирование затрат, связанных с выпуском, обращением и погашением облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года, осуществляется за счет средств федерального бюджета, предусмотренных на погашение и обслуживание государственного внутреннего долга.
(абзац введен «Постановлением» Правительства РФ от 03.07.1997 N 811)
Расходы, связанные с проверкой и уничтожением выигравших и не выигравших погашенных облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года в расчете на одну облигацию, возмещаются Сберегательному банку Российской Федерации из расчета соответственно 72 копейки и 43 копейки.
(абзац введен «Постановлением» Правительства РФ от 20.11.2001 N 803)
2. Министерству финансов Российской Федерации утвердить условия Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года, выпускаемого для размещения среди населения, образцы облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года и обеспечить изготовление облигаций займа на предприятиях Государственного производственного объединения «Гознак» при Министерстве финансов Российской Федерации.
3. Облигации Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года свободно продаются и покупаются на территории Российской Федерации учреждениями Сберегательного банка Российской Федерации и другими банками, имеющими лицензии на право совершения этих операций.
Разрешить Министерству финансов Российской Федерации устанавливать в зависимости от конъюнктуры рынка ценных бумаг продажную цену облигаций Российского внутреннего выигрышного займа, отличную от номинала.
За выполняемую работу по размещению и обслуживанию облигаций Российского внутреннего выигрышного займа 1992 года Сберегательному банку Российской Федерации выплачивается комиссионное вознаграждение в размере 5 процентов стоимости реализованных облигаций, если она превышает стоимость купленных облигаций, либо в размере 5 процентов стоимости купленных облигаций, если она превышает стоимость реализованных облигаций.
(в ред. «Постановления» Правительства РФ от 20.11.2001 N 803)
(см. текст в предыдущей «редакции)»
4. Утратил силу. — «Постановление» Правительства РФ от 16.10.1999 N 1169.
(см. текст в предыдущей «редакции)»
Е. ГАЙДАР
МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УСЛОВИЯ
РОССИЙСКОГО ВНУТРЕННЕГО ВЫИГРЫШНОГО ЗАЙМА 1992 ГОДА
(с изменениями, внесенными с 4 тиража выигрышей
Российского внутреннего выигрышного займа 1993 года,
проводимого 15 апреля в г. Нижнем Новгороде)
1. Российский внутренний выигрышный заем 1992 года выпускается на срок с 1 октября 1992 года по 1 октября 2002 года.
2. Облигации займа свободно продаются и покупаются учреждениями Сберегательного банка Российской Федерации и другими коммерческими банками, получившими лицензии на право совершения операций.
3. Заем выпускается отдельными разрядами на сумму пять миллиардов рублей каждый.
Каждый разряд займа состоит из 50.000 серий с номера 00.001 по 50.000. Облигации в каждой серии имеют номера с 001 по 100.
4. Облигации займа выпускаются номинальной стоимостью в 1.000 и 500 рублей. Облигация номинальной стоимостью 500 рублей является половиной тысячерублевой облигации.
5. По облигациям займа весь доход выплачивается в форме денежных выигрышей.
Общая сумма выигрышей установлена в среднем за десятилетний срок займа из расчета 30 процентов в год.
В течение десятилетнего срока займа выигрывает 32 процента всех облигаций, а остальные 68 процентов облигаций по истечении срока займа выкупаются по их номинальной стоимости.
Выигравшие облигации погашаются и исключаются из дальнейших тиражей выигрышей.
Выигрыши по займу устанавливаются в размере 5.000.000, 1.000.000, 500.000, 250.000, 100.000, 50.000, 25.000, 10.000, 5.000 рублей на тысячерублевую облигацию, включая номинальную стоимость облигации (по облигации в 500 рублей выплачивается половина выигрыша).
6. В течение десятилетнего срока займа проводится восемьдесят тиражей выигрышей — восемь тиражей ежегодно.
Тиражи проводятся начиная с 1992 года в сроки, устанавливаемые Министерством финансов Российской Федерации.
7. В тиражах выигрышей на каждый разряд займа разыгрывается следующее количество выигрышей:
?
Размер выигрыша на? Количество? Сумма выигрышей
тысячерублевую облигацию? Выигрышей? (в рублях)
(включая номинальную? ?
стоимость) ? ?
?
5 000 000 1 5 000 000
1 000 000 5 5 000 000
500 000 10 5 000 000
250 000 20 5 000 000
100 000 50 5 000 000
50 000 300 15 000 000
25 000 800 20 000 000
10 000 7 200 72 000 000
5 000 11 614 58 070 000
?
ВСЕГО: 20 000 190 070 000
8. Облигации, на которые выпали выигрыши, а также невыигравшие облигации, подлежащие выкупу по их номинальной стоимости, могут быть предъявлены к оплате до 1 октября 2004 года. По истечении этого срока облигации, не предъявленные к оплате, утрачивают силу и оплате не подлежат.
9. Продажа и покупка облигаций производится уполномоченными банками по рыночным ценам, порядок установления которых согласовывается с Министерством финансов Российской Федерации.
Источник
