Аннуитета и амортизации займа

Расходы, связанные с погашением займа (кредитов), т.е. погашением основного займа и выплатой процентов по нему, называются расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа.

В банковской практике западных стран среднесрочным считается кредит, выданный на срок от 2 до 5 лет. Кредиты, выданные на срок свыше 5 лет, являются долгосрочными. Данная градация является достаточно условной и справедлива при стабильной экономике и незначительной инфляции.

Существуют различные способы погашения задолженности. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности.         Одним из важнейших элементов плана является определение числа выплат в течение года, т.е. срочных уплат и их величины.

Срочные уплаты рассматриваются как средства, предназначенные для погашения как основного долга, так и текущих процентных платежей. При этом средства, направляемые на погашение (амортизацию) основного долга, могут быть равными или изменяющимися  по каким-либо законам, а плата за кредит, вычисленная по сложным процентам, будет выплачиваться отдельно. Иногда в течение ряда лет выплачиваются только проценты за кредит, а сам долг погашается в оставшееся время в рассрочку, т.е. несколькими платежами, или разовым платежом.

Погашение кредита может также производиться аннуитетами, т.е. платежами, вносимыми через равные промежутки времени и содержащими как выплату основного долга, так и процентный платеж за пользование кредитом. Величина аннуитета может быть постоянной, а может изменяться в арифметической или геометрической прогрессии.

Величина срочных уплат зависит от величины кредита, его срока, наличия и продолжительности льготного периода, размера процентной ставки и т.п. Однако, как правило, проценты за кредит должны выплачиваться и в льготном периоде.

4.2. Погашение долга равными срочными выплатами

Условиями кредитного контракта может предусматриваться погашение долга равными срочными уплатами в конце каждого расчетного периода. Каждая срочная уплата Y будет являться суммой двух величин: годового расхода по погашению основного долга R и процентного платежа по займу I :

Y = R + I .

В данном случае остаток основного долга и суммы процентных платежей уменьшаются от периода к периоду, годовой расход погашенного основного долга растет, а срочные уплаты будут являться аннуитетами ренты постнумерандо.

Величина кредита D равна сумме всех дисконтированных аннуитетов, т.е. является современной величиной всех срочных уплат.

Исходя из этого можно записать:

,

где Y1=Y2=…Yn
— срочные уплаты;

i — ставка процентов по займу

Для удобства записи обозначим 1 + i = r. Тогда получим:

                                          (4.1)

Умножим выражение (1.1) на величину r:

.                                            (4.2)

Вычтя из уравнения (4.2) уравнение (4.1), получим:

Отсюда имеем:

Подставив вместо r его значение, получим:

                                                                                                     (4.3)

Из выражения (4.3) определим величину срочной уплаты:

Величина

 называется коэффициентом погашения задолженности.

Для погашения займа равными долями (платежами) остаток долга с каждой выплатой уменьшается, следовательно, уменьшаются и процентные выплаты. В результате возрастает от периода к периоду размер платежей, идущих от погашения основного долга. Между двумя последовательными выплатами основного долга существует взаимосвязь. Для ее определения возьмем два последовательных расчетных периода — К
и (К+1).

В К-м расчетном периоде годовая срочная уплата равна:

а остаток невыплаченного долга соответственно составит:

Однако для определения DK необходимо предварительно определить RK. В периоде (К+1) остаток основного долга равен:

Следовательно, срочная уплата в этом периоде может быть записана в следующем виде:

По условию:                      

.

Отсюда:                             

.

Решив это уравнение относительно RK+1 получим:

                                     (4.4)

Таким образом, каждая выплата, произведенная в счет погашения основного долга, отличается от предыдущей на величину (1+i).

Зная эту зависимость можно рассчитать величину выплаты основного долга в любом расчетном периоде:

            (4.5)

Зная размер кредита D, процентную ставку i и срок погашения кредита n, рассчитаем величину первой выплаты погашения основного долга R1.

Величина займа D равна сумме выплат Ri, т.е.:

.

Отсюда

.                              .                                      (4.6)

Величина

 называется ставкой погашения.

Подставляя D из формулы (1.1.) в формулу (1.6.) находим:

.         (4.7)

Так как RK = R1(1+i)K-1, то подставив в это выражение значение R1, получим:

                 (4.8)

Используя (4.8.) можно рассчитать для любого периода величину процентного платежа IK.

Так как    
Y = IK + RK ,     то     IK = Y — RK.

Подставив в это выражение значение RK, найдем:

                            (4.9)

R) n – 1

I n – 1

I n – 1

I n – 1

Амортизация займа одинаковыми аннуитетами.

В этом случае заем погашается постоянной величиной в течение всего периода выплаты. Сумма всех аннуитетов на протяжении всего срока погашения займа равна величине займа F. Чтобы рассчитать сумму всех аннуитетов необходимо их дисконтировать, т.е. привести к одному моменту времени. Если кредит выдан в начале года, а погашение начинается в конце года одинаковыми аннуитетами и продолжается n лет, это можно представить следующим образом:

F = a

i n ( i – 1)

где a — аннуитет

n – период займа

i = (1 + r )

r – ставка процента выраженная в сотых долях процента

Отсюда:

i n ( i – 1)

а = F

i n ( i – 1)

Величина k =

называется коэффициентом амортизации. Он показывает величину аннуитета при погашении кредита в одну денежную единицу.

Первая выплата основного долга может быть рассчитана по следующей формуле:F * r

b1 =

Каждую следующую выплату можно найти через первую или через аннуитет:

bm = b1 (1 + r) m-1

bm = a (1 + r) –n+m-1

где m – это порядковый номер периода займа

Процентный платеж в этом случае рассчитывается по следующей формуле:

Im = a [ 1- (1 + r) –n+m-1 ]

Пример:

Заем равен 300000 руб. Амортизация производится одинаковыми аннуитетами в течении 6 лет при ставке 7 % годовых Капитализация процентов ежегодная. Составьте план амортизации.

Решение:

F = 300000 руб.

n = 6 лет

r = 7 %

i = 1 + 0,07 = 1,07

k = [ 1,07 6 * (1,07 – 1 )] / ( 1,07 6 – 1) = 0,1050511 / 0,5007303 = 0,2097957

a = 300000 * 0,2097957 = 62938,74 руб.

План амортизации можно представить следующим образом:

Из примера видно, что при погашении долга одинаковыми аннуитетами выплаты основного долга увеличиваются, а процентные платежи уменьшаются.

Сумма погашения основного долга и аннуитет рассчитываются по формулам:

b = F / n

am = Fm-1 * r + b

am = am-1 – b*r

где am – аннуитет в периоде m

am-1 – аннуитет в периоде m — 1

Fm-1 — остаток долга перед периодом m

Пример:

Заем 250000 руб. амортизируется одинаковыми ежегодными выплатами в течение 5 лет. Процентная ставка 6%, капитализация годовая. Составить план амортизации.

Решение:

F = 250000 руб.

n = 5 лет

r = 6 %

b = 250000/5 = 50000 руб.

a1 = 250000*0,06 + 50000 = 65000 руб.

а2 = 65000 – 50000*0,06 = 62000 руб.

a3 = 62000 – 50000*0,06 = 59000 руб.

a4 = 59000 – 50000*0,06 = 56000 руб.

а5 = 56000 – 50000*0,06 = 53000 руб.

Одной из важнейших сфер применения концепции временной стоимости денег является расчет погасительных сумм для займов, когда заем погашается поэтапно. В ряде случаев договор займа предусматривает частичное погашение до окончания срока договора, когда выплачивается не только процент, но и часть основной суммы займа (например, жилищные займы, коммерческие займы). Если ссуда погашается в течение срока договора серией равных периодических платежей (периодичность может быть месячная, квартальная или годовая), то такая ссуда называется амортизируемой. Амортизация в данном случае рассматривается как процесс постепенного погашения ссуды равными платежами.

Предположим, корпорация взяла ссуду 1 млрд. руб., и погаше-ние предполагает три равных пла-тежа — в конце будущих трех лет. Кредитор должен получить 20% суммы займа, имеющейся на начало каждого года. Задача заключается в нахождении трех равных платежей (обозначим их величиной РМТ). Схема денежных потоков будет иметь для данного примера вид, показанный на рис. П.8.

Величина ссуды 1 млрд. руб. является текущей оценкой аннуитета, равного РМТ, на период три года с процентной ставкой 20%. Таким образом, для расчета погасительных сумм РМТ необходимо приравнять текущую оценку (сумму полученной ссуды) к текущей оценке 3-летнего аннуитета. 1 млрд. руб. = PV = РМТ / (1 + i) + РМТ / (1 + i2) + РМТ / (1 + i3); i = 20%;

В общем случае величина ссуды приравнивается к текущей оценке аннуитета:

где n — период погашения займа,

i — ежегодная процентная ставка.

1 млрд. руб. = РМТ х PVIFA (20%, 3 года) = РМТ х 2,1065. РМТ = 0,475 млрд. руб. В рассматриваемом примере корпорация должна будет платить кредитору в конце каждого года 475 млн. руб. Относительная величина затрат для заемщика составит 20% годовых, и соответственно доходность кредитора от данной финансовой операции также составит 20%. Следует заметить, что проценты в данном случае начисляются не на первоначальную сумму долга (1 млрд. руб.), а на фактически оставшуюся задолженность на начало каждого года. Задолженность года t + 1 = Задолженность года t — Погасительная составляющая РМТ для t = 1,…, п — 1. Такой метод начисления процентов называется актуарным.

Величина ежегодного платежа РМТ включает и процент за заем денег, и частичное погашение основной суммы. Разбивка величины ежегодного платежа на две части — процентную и погасительную — носит название структуры амортизируемой ссуды. Процентная составляющая ежегодного платежа РМТ рассчитывается домножением значения суммы ссуды на начало каждого года на процентную ставку (например, для первого года процентная составляющая равна 1 млрд. руб. х 0,2 = 200 млн. руб.) Погасительная составляющая может быть найдена как разность полученной величины РМТ и процентной составляющей: 475 млн. — 200 млн. = 275 млн. руб.

Таким образом, РМТ включает две компоненты: 200 млн. — процентная составляющая и 275 млн. — погасительная составляющая. На начало второго года задолженность составит не 1 млрд. руб., а 725 млн. руб. (1 млрд. — 275 млн.)

Если известны ежегодные суммы погашения, могут быть найдены суммы задолженности на начало каждого года: для первого года задолженность составляет 1 млрд. руб., для второго — 0,725 млрд. руб. (1 млрд. — РМТ), на начало третьего года задолженность составит 395 млн. руб. (1 млрд. — РМТ- РМТ). На конец третьего года заем будет погашен (погасительная составляющая третьего года должна быть равна задолженности на начало года, т.е. 395 млн.). Структура амортизируемой ссуды показана в табл. П.4.

Таблица П. 4. Структура амортизируемой ссуды, млн. руб.

Процентная составляющая имеет наибольшее значение в первый год и снижается с уменьшением суммы задолженности. Для кредитора процентная составляющая является налогооблагаемым доходом.

Упрощенная формула для расчета:

Например, индивид решил приобрести жилье в рассрочку. Требуется 200 тыс. долл. для покупки дома. Если используется 30-летняя закладная с ежемесячными платежами, то при ежегодной процентной ставке 8% расчет следует проводить следующим образом:

а) месячная процентная ставка по займу = 0,08/12 = 0,0067;

б) ежемесячный платеж по закладной = 200 х (0,0067 / (1 — 1 / 1,006712×30) = = 200 тыс. (0,0067 / (1 — 1/1,0067360) = 1473,11 тыс. долл.

Этот ежемесячный платеж является возрастающей функцией от процентной ставки.

Другой пример — покупка новой машины, которая стоит 15 тыс. долл. Продавец предлагает два варианта:

1-й — специальное финансовое предложение займа в 15 тыс. долл. под 3% годовых на период 36 месяцев;

2-й — скидка с цены машины до 14 тыс. долл. и предоставление займа на 14 тыс. долл. под обычный процент. Ставка равна 12% годовых, срок платежа 36 месяцев.

Следует сравнить ежемесячные платежи по каждому варианту:

Эти расчеты могут быть выполнены на компьютере через финансовую функцию Excel ППЛАТ (см. Приложение 3).

По специальному предложению ежемесячный платеж меньше, и этот вариант лучше. Можно сравнить вариант скидки в 1 тыс. долл. с фактической разницей в текущей оценке двух вариантов. 15 тыс. долл. под 3% адекватны 436,22 долл. ежемесячных платежей. Если рассмотреть вариант выплаты 15 тыс. по ставке 12%, то ежемесячный платеж составит 498,21. Экономия по варианту 1 составит 61,99 долл. Текущая оценка получения экономии в течение 36 месяцев составит 61,99 [(1 — 1/ 1,0136)/0,01] = 1866,34.

Текущая оценка экономии превышает скидку, и поэтому вариант 1 лучше. Чтобы вариант 2 стал более привлекательным, скидка должна превышать 1866,34 долл.