§ 7. Применение комбинаторики к подсчету вероятности
Если из совокупности объема n производится выборка k элементов с возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной .
Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна .
Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае выборки с возвращением имеем:
,
в случае выборки без возвращения:
.
Пример 1. Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые цифры?
Решение. Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 93 = 729. Количество благоприятных случаев для интересующего нас события А подсчитываем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать способами; если х и у выбраны, то из них можно составить , т. е. 3 трехзначных числа, в которых х встречается два раза, а у –один раз; столько же будет чисел, в которых у встречается дважды; х – один раз. Таким образом, число благоприятных случаев равно 36 × (3 + 3) = 216. Искомая вероятность равна:
.
Пример 2. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?
Решение. Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р1, р2, о1, о2. Тогда общее число элементарных исходов равно: . Слово «тор» получится в 1 × 2 ×2 = 4 случаях (то1р1, то1р2, то2р1, то2р2). Искомая вероятность равна: .
При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь воспользовались правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» – двумя и букву «р» – двумя способами.
Статистический выбор. Пусть в урне находятся n предметов. Испытание состоит в том, что из урны извлекается группа из m предметов (без возвращения, без учета порядка предметов внутри группы). Количество таких выборок равно и мы предполагаем, что все они имеют равные вероятности .
Пример 3. В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?
Решение. Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N — n небракованных можно выбрать k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно × . Искомая вероятность равна:
.
Пример 4. В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
Решение. Применим схему статистического выбора. Из 7 членов бригады 4 человека можно выбрать = 35 способами, следовательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщины = 6 способами, а из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин = 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 × 3 = 18. Таким образом, .
Задачи
134. Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность того, что при этом все выпавшие грани различны?
135. На 6 одинаковых карточках написаны буквы «а», «в», «к», «М», «о», «с». Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «Москва»?
136. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из этой урны наудачу извлечены 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары разного цвета?
137. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
138. В урне a белых и b черных шаров. Из этой урны наудачу извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что эти шары одного цвета?
139. Какова вероятность того, что в написанном наудачу трехзначном числе 2 цифры одинаковы, а третья отличается от них?
140. В некоторый день недели во всех классах школы должно быть по 6 уроков. В этот день случайным образом ставятся в расписание 3 урока одного учителя и 2 урока другого. Какова вероятность того, что эти учителя не будут одновременно заняты?
1человек случайным образом рассаживаются на десятиместную скамейку. Какова вероятность того, что 2 определенных лица окажутся рядом?
142. В урне 10 шаров, из которых 2 белых, 3 черных и 5 синих. Наудачу извлечены 3 шара. Какова вероятность того, что все 3 шара разного цвета?
143. В классе 40 учеников, из которых 10 отличников. Класс наудачу разделен на 2 равные части. Какова вероятность того, что в каждой части по 5 отличников?
144. На 10 карточках написаны буквы «а», «а», «а», «м», «м», «т», «т», «е», «и», «к». После тщательного перемешивания карточки раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «математика»?
145. Брошены 3 игральные кости. Какова вероятность того, что на всех костях выпадает четное число?
146. Цифры 1, 2, 3, 4 и 5 написаны на карточках и тщательно перемешены. Случайным образом эти карточки разложены в ряд. Какова вероятность того, что получим четное число?
147. В урне 5 белых и 5 черных шаров. Из этой урны последовательно извлечены все шары по одному и разложены в ряд. Какова вероятность того, что цвета шаров чередуются?
148. На пятиместную скамейку случайным образом садится 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?
149. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна . Сколько в урне белых шаров?
150. В урне n белых и m черных шаров. Наудачу извлечены k шаров (k>m). Какова вероятность того, что в урне остались одни белые шары?
151. Из урны, содержащей N шаров, N раз извлекают по одному шару, каждый раз возвращая извлеченный шар. Какова вероятность того, что все шары извлекались по одному разу?
152. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на 2 равные части (по 26 карт). Найдите вероятности следующих событий:
А – в каждой части окажется по 2 туза;
В – в одной из частей не будет ни одного туза;
С – в одной из частей будет ровно один туз.
153. В урне a белых, b черных и с красных шаров. Из этой урны один за другим вынимают без возвращения все шары и записывают их цвета. Найдите вероятность того, что в этом списке белый цвет встретится раньше черного.
154. Имеется 2 урны: в первой a белых и b черных шаров; второй с белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найдите вероятность того, что оба шара будут белыми (событие А) и вероятность того, что шары будут разного цвета (событие В).
155. 2n команд разбиты на 2 подгруппы по n команд. Найдите вероятность того, что 2 наиболее сильные команды попадут: а) в разные подгруппы (событие А); б) в одну подгруппу (событие В).
156. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются 3 карты. Определите вероятность того, что сумма очков в этих картах равна 21, если валет составляет 2 очка, дама – 3, король – 4, туз – 11, а остальные карты – соответственно 6, 7, 8, 9, 10 очков.
157. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (6 из 49) зачеркивает 6 номеров. Какова вероятность того, что им будет угадано:
а) все 6 номеров в очередном тираже;
б) 5 или 6 номеров;
в) по крайней мере 3 номера?
158. Автобусу, в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что всевозможные способы распределения пассажиров по остановкам равновозможны, найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.
159. Из чисел 1, 2, …, N выбирают наудачу r различных чисел ( r £ N). Найдите вероятность того, что будут выбраны r последовательных чисел.
160. Из полной колоды карт (52 листа) извлекают сразу несколько карт. Сколько карт нужно извлечь для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,5, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?
161. Имеется n шариков, которые случайным образом разбрасываются по m лункам. Найдите вероятность того, что в первую лунку упадет ровно k1 шариков, во вторую – k2 шариков и т. д., в m-ю – km шариков, если k1+k2+…+km=n.
162. В условиях предыдущей задачи найдите вероятность того, что в одной из лунок (безразлично в какой) будет k1 шариков, а в другой – k2 шариков и т. д., в m-й – km шариков ( числа k1,k2,…,km предполагаются различными).
163. Из множества {1, 2,…, N} последовательно без возвращения выбираются числа х1 и х2. Найдите р(x2 > x1).
1рукописей разложены по 30 папкам (одна рукопись занимает 3 папки). Найдите вероятность того, что в случайно выброшенных 6 папках не содержится целиком ни одной рукописи.
165. Какова вероятность того, что в компании из r человек хотя бы у двоих совпадут дни рождения? (Для простоты предполагается, что 29 февраля не является днем рождения).
166. Используя таблицу значений lg n! и условие предыдущей задачи, вычислите вероятности при r = 22, 23, 60.
167.Вы задались целью найти человека, день рождение которого совпадает с Вашим. Сколько незнакомцев Вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была бы не меньше чем 0,5?
168. По Государственному займу ежегодно разыгрывается 6 основных тиражей и один дополнительный, происходящий после основного пятого. Из 100000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном – 230 серий. Найдите вероятность выигрыша одной облигации за первые 10 лет: а) в основном тираже; б) в дополнительном тираже; в) в каком-либо тираже.
Источник
1. Классическое определение вероятности.В основеэтого определения лежит понятие равновозможности элементарных исходов испытания. Так, при подбрасывании игральной кости, имеющей правильную геометрическую форму и изготовленной из однородного материала, все шесть исходов равновозможны.
Вероятностью случайного события А в некотором испытании называется отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных исходов, составляющих полную группу несовместных событий:
(1.1)
где — число всех благоприятствующих событию А исходов, — число всех равновозможных исходов испытания.
Классическая определение вероятности является математической формализацией тех испытаний, в которых элементарные исходы обладают определенной симметрией по отношению к условиям их реализации, когда нет никаких оснований считать какой-либо из исходов более возможным, чем другой.
Свойства вероятности:
1) вероятность случайного события заключена между нулем и единицей:
;
2) вероятность достоверного события равна единице:
3) вероятность невозможного события равна нулю:
Показать, что из определения вероятности случайного события вытекают следующие следствия:
1.18.
1.19.
1.20.Доказать, что если случайные события А и В могут произойти в результате испытания с вероятностями Р(А) и Р(В) соответственно, то справедливо равенство
1.21.Пусть события А, В и С таковы, что Показать, что
1.22.В магазин поступили плащи разных расцветок: 5 синих, 5 желтых и 10 красных. Продавец извлекает наугад один из этих плащей. Какова вероятность того, что плащ окажется желтым?
¢ Множество элементарных исходов состоит из 20 элементов, так как в магазин поступило 20 плащей; поэтому Если обозначить А = {выбранный продавцом плащ оказался желтым}, то по условию m = 5. Отсюда следует:
£
При решении подобных задач, как правило, используются формулы комбинаторики, а именно формулы числа перестановок, сочетаний или размещений.
Первые из них используется тогда, когда множество элементарных исходов состоит из перестановок n элементов. При этом, если все n элементов различны (отличаются друг от друга по какому-либо признаку), то число перестановок (без повторений) равно . Если в каждой перестановке имеют место n1 одинаковых элементов первой группы, n2 одинаковых элементов второй группы и т.д., nk одинаковых элементов k-й группы, причем то число таких перестановок (с повторениями) равно
(1.2)
1.23.На шести карточках написаны буквы А, В, К, М, О, С. После перетасовки случайным образом выбирают одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в котором они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово МОСКВА.
¢ Множество элементарных исходов состоит из всех перестановок из шести разных элементов, Интересующему нас событию соответствует лишь один исход. Поэтому £
1.24.Из разрезной азбуки выкладывается слово МАТЕМАТИКА. Затем все буквы тщательно перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКА ?
¢ В данном случае множество всех букв слова МАТЕМАТИКА состоит из нескольких групп: три буквы А, по две буквы М и Т, по одной букве Е, И и К. Поэтому множество элементарных исходов состоит из всех перестановок с повторениями из 10 элементов, разбитых на указанные группы.
Так как нас интересует только один исход, то искомая вероятность равна
£
Формулы числа сочетаний и размещений определяют число элементарных исходов в некотором испытании, состоящем в случайном выборе m элементов из n элементов исходного множества. При этом строго оговаривается, каким способом отбираются элементы в выборку и что понимается под различными выборками. Существуют две принципиально различные схемы выбора элементов: без возвращения и с возвращением отобранных элементов в исходное множество. В соответствии с этим различают размещения и сочетания без повторений и с повторениями.
Пусть исходное множество состоит из n различных элементов. Производится выбор m элементов без возвращения. Если по условиям эксперимента нас интересует лишь состав отобранных элементов, то речь идет о сочетаниях (без повторений), число которых определяется формулой
Числа сочетаний являются биномиальными коэффициентами, для которых справедливы следующие тождества:
* — свойство симметрии;
* рекуррентное соотношение;
* следствие формулы бинома Ньютона.
1.25 (задача о выборке).Среди N элементов некоторой сово-купности содержится M элементов, обладающих определенным свойством. Случайным образом отбираются n элементов. Найти вероятность того, что среди них окажется m элементов, обладающих указанным свойством.
¢ В данном случае порядок следования элементов не имеет значения, поэтому множество элементарных исходов состоит из всех сочетаний , составленных из N элементов по n. Благоприятными будут те исходы, когда в выборку попадут m элементов из М, обладающих определенным свойством. Такой выбор можно осуществить способами. Но при этом вместе с указанными т элементами в выборку должны попасть п – т элементов из числа N – M элементов данной совокупности, не обладающих этим свойством. А этот отбор можно осуществить способами. Таким образом, число всех благоприятстующих исходов испытания равно а искомая вероятность принимает вид
£ (1.3)
Если кроме состава отобранных элементов имеет значение и порядок их следования друг за другом, то такие соединения называются размещениями, а их число находят по формуле
(1.4)
1.26.Первые 7 букв русского алфавита написаны на карточках. Случайным образом последовательно извлекаются четыре карточки. Найти вероятность того, что полученное “слово” будет оканчиваться буквой а.
¢ Любой набор из четырех букв здесь считается словом, поэтому порядок следования букв имеет значение. Число Так как последняя буква слова известна, то количество слов с буквой а в конце равно числу размещений из 7 элементов по 3:
Отсюда искомая вероятность £
Пусть теперь m-кратная выборка производится с возвращением каждого отобранного элемента в исходную совокупность. Если при этом порядок следования не имеет значения, то получающиеся соединения называются сочетаниями с повторениями, а их общее число определяется формулой
(1.5)
Если при тех же условиях соединения должны отличаться не только составом, но и порядком следования элементов, то они называются размещениями с повторениями, при этом их число находят по формуле
(1.6)
1.27.В магазин поступило 25 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Для проверки наудачу выбирается один телевизор. Какова вероятность того, что он не имеет скрытых дефектов?
1.28.В садке содержатся 15 сазанов, 9 карпов и 6 карасей. Найти вероятность того, что случайно выловленная рыба оказалась не карасем.
1.29.В старинной индейской игре Тонг два игрока одновре-менно показывают друг другу либо один, либо два, либо три пальца на правой руке. Если для каждого игрока равновозможно показать один, два или три пальца, то чему равна вероятность того, что общее число показанных пальцев четно?
1.30.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.
1.31.Курс валюты в начальный момент находится на определенной отметке и ежедневно подвергается случайному изменению, в результате которого с равными вероятностями увеличивается или уменьшается на одну условную единицу. Найти вероятность того, что через 10 дней курс валюты изменится на 2 условные единицы.
1.32.По займу ежегодно разыгрываются шесть основных тиражей и один дополнительный. Из 100000 серий в каждом основном тираже выигрывают 170 серий, а в каждом дополнительном – 230 серий. Найти вероятность выигрыша на одну облигацию за первые 10 лет: а) в основном тираже; б) в дополнительном тираже; в) в каком-либо тираже.
1.33.На шахматную доскуслучайным образом ставят две ладьи — белую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не побьют друг друга?
1.34.На шести одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 7, 8, 12, 14. Последовательно выбирают две карточки. Какова вероятность того, что из двух полученных чисел можно составить сократимую дробь?
1.35.Из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 наудачу выбирают три различные цифры и составляют трехзначное число. Найти вероятность того, что это число окажется четным.
1.36.Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
1.37.Слово “АЗИМУТ” составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с буквами перемешиваются и из них наугад выбираются четыре карточки. Найти вероятность того, что расположенные по порядку карточки составят слово “ЗИМА”.
1.38.В урне 10 одинаковых шаров, из которых 6 белых, остальные черные. Наудачу извлекаются 4 шара. Какова вероятность того, что среди них окажется 3 белых шара?
1.39.Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность того, что в полученной выборке окажется одно бракованное изделие.
1.40.В партии из 15 изделий имеется 2 дефектных. Наудачу выбирают 4 изделия для контроля. Найти вероятность того, что в этой выборке окажется хотя бы одно дефектное изделие.
1.41.Партия из 20 выловленных рыб подвергается некоторому контролю. Условием непригодности улова является наличие хотя бы одной бракованной рыбы из четырех проверяемых. Какова вероятность того, что улов будет признан непригодным, если он содержит 3 недоброкачественные рыбы?
1.42.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?
1.43.Имеется пять билетов стоимостью по10 рублей, три билета по 30 рублей и два билета по 50 рублей. Наугад берутся три билета. Определить вероятность того, что: а) хотя бы два из этих билетов имеют одинаковую стоимость; б) стоимость всех трех билетов составляет 70 рублей.
1.44.Из последовательности целых чисел от 1 до 10 наудачу выбираются два числа. Найти вероятность того, что одно из них меньше шести, а другое больше шести.
1.45.Из колоды карт (52 карты) наудачу извлекаются три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семерка и туз.
1.46.А и В и еще 8 человек стоят в очереди. Определить вероятность того, что между А и В в очереди стоят 3 человека.
1.47.Найти вероятность того, что в группе из n случайно выбранных студентов хотя бы у двоих окажется один и тот же день рождения. Вычислить вероятность для n = 24 и n = 50.
1.48. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов в двух из 30 магазинов, среди которых и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут проверены?
1.49.На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции. Вагоны помечены номерами от 1 до 10. Найти вероятность того, что среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.
1.50.В генуэзской лотерее разыгрываются 90 номеров, из которых выигрывают 5. По условию можно ставить ту или иную сумму на любой из 90 номеров или на любую совокупность из 2, 3, 4 или 5 номеров, причем для получения выигрыша должны выиграть все выбранные номера. Какова вероятность выигрыша в каждом из указанных пяти случаев?
1.51.В зале, насчитывающем n + k мест, случайным образом занимают места n человек. Найти вероятность того, что будут заняты определенные m £ n мест.
1.52.r элементарных частиц регистрируются R (R > r) счетчиками, причем каждая из частиц может с одинаковой вероятностью попасть в любой из счетчиков. Найти вероятность того, что: а) в определенных r счетчиках окажется по одной частице; б) в каких-либо r счетчиках окажется по одной частице.
1.53.r шаров случайным образом раскладываются по n ящикам, причем каждый шар с одинаковой вероятностью может попасть в любой из ящиков, а в каждом из них может оказаться любое количество шаров. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут r1 шаров, во второй – r2 шаров и т. д., в n-й – rnшаров, r1 + r2 + … + rn= r.
1.54.Из урны, содержащей шары с номерами от 1 до n, k раз (k £ n) извлекается шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера извлеченных шаров образуют возрастающую последовательность.
2. Геометрическая вероятность.Пусть W — множество точек отрезка или ограниченной плоской фигуры, А – заданное подмножество множества W. Будем считать, что испытание состоит в случайном выборе точки этого множества , событие А – выбор точки из подмножества А, причем «попадание» точки в каждую элементарную часть DW одной и той же длины или площади равновозможно. Тогда вероятность случайного события А будет определена по формуле
или (1.7)
где L(A) – длина отрезка А, L(W) – длина отрезка W,
S(A) – площадь плоской фигуры А, S(W) – площадь фигуры W.
1.55.Внутри квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1) наудачу выбирается точка М (х, у). Найти вероятность события
¢ Пусть М(х,у) — случайная точка, попавшая внутрь квадрата со стороной 1 и круга с центром в начале координат радиуса а (рис. 1.3). Так как
, а то и £
1.56.Найти вероятность того, что корни квадратного уравнения действительны, если все значения равновероятны и единственно возможны.
¢ Областью всех возможных пар значений (p,q) является квадрат ABCD с центром в начале координат и стороной, равной 2 (рис. 1.4). Значит, Интересующему нас событию соответствуют те точки, координаты которых удовлетворяют условию существования корней квадратного уравнения: . Эти точки принадлежат криволинейной фигуре AKOLD, ограниченной сверху кривой . Площадь фигуры равна Отсюда £
1.57.На отрезке АВ длины L числовой оси Ох наудачу нанесена точка М(х). Найти вероятность того, что отрезки АМ и МВ имеют длину, большую L/4.
1.58.На перекрестке установлен светофор, в котором в течение 25 секунд горит зеленый свет, 19 секунд горит красный свет, а в промежутках между ними в течение 3 секунд — желтый свет. Найти вероятность того, что автомобиль, случайно подъехавший к перекрестку, проедет его без остановки.
1.59.Внутри эллипсарасположен круг Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограниченное эллипсом и кругом.
1.60.Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из них придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода — один час, а второго — два часа.
1.61.В отрезок [0; 3] случайным образом брошены две точки. Пусть х1 и х2 – координаты этих точек. Найти вероятность того, что х1 + х2 £ 2.
1.62.В случайный момент времени появляется радио-сигнал длительностью t1. В случайный момент времени включается приемник на время t2 < t1. Найти вероятность обнаружения сигнала, если приемник настраивается мгновенно.
1.63.Наудачу взяты два положительных числах и у, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
1.64.Наудачу взяты два положительных числа, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма x + y не превышает единицы, а произведение ху не меньше 0,09.
Источник